沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.4 函数的单调性与极值

83.4 i函数的单调性与极值函数单调性的判定法二、函数极值的判定法三、最值的求法

§3.4 函数的单调性与极值 一 、函数单调性的判定法 三、最值的求法 二、函数极值的判定法

函数单调性的判定法1J=/(x)f'(x)>0f'(x)<0ObxaC

f (x)>0 f (x)<0 一、 函数单调性的判定法

函数单调性的判定法定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，f'(x)>0(f'(x)<0)，则 f(x)在I内单调递增(递减)证:无妨设f'(x)>0，xI,任取 Xi,X,EI (x,<x)由拉格朗日中值定理得f(x2)- f(x)= f()(x, -x) >05e(xi,x,)故 f(x)<f(x,).这说明 f(x)在I内单调递增证毕

一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 f (x) 若f (x) > 0 ( f (x) < 0), 则 f (x) 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 f (x) > 0, x  I,任取 1 2 1 2 x , x  I (x < x ) 由拉格朗日中值定理得 2 1 2 1 f (x )  f ( x )  f ( )(x  x ) 1 2  (x , x ) I > 0 故 1 2 f (x ) < f ( x ). 这说明 在 I 内单调递增. f (x) 在开区间 I 内可导, 证毕

例1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间解：定义域为(-0,+)f'(x) = 6x2 -18x +12 = 6(x -1)(x - 2)令 f'(x)=0,得 x=1,x=2(1, 2)12(-80, 1)(2, + 80)x0+0+f'(x)21f(x)Z2故f(x)的单调增区间为(-,1),(2,+);f(x)的单调减区间为(1,2)012X

例1. 确定函数 3 2 f (x)  2x  9x  12x  3 的单调区间. 解: 2 f (x)  6x 18x  12  6( x  1)( x  2) 令 f (x)  0 , 得 x  1, x  2 x f (x) f (x) ( , 1) 2 0 0 1 (1 , 2) (2,  )    2 1 故 f (x) 的单调增区间为 ( , 1), (2,  ); f (x) 的单调减区间为 (1 , 2). 1 2 O x y 1 2 定义域为 ( ,  )

例2讨论函数V=3/x2 的单调性解 函数的定义域为(一80,+80),2(x0)，函数在x=0处不可导33/x因为x<0时，y'<0,所以函数在(-,01上单调减少：因为x>0时，y'>0,所以函数在[0,+8)上单调增加y701x

解 函数的定义域为( ) 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 )上单调增加 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单调减少 例例32 讨论函数 3 2 y  x 的单调性 3 3 2 x y   (x0) 函数在 x0 处不可导