沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第1章 函数、极限、连续 1.8 函数的连续性

1.8函数的连续性连续函数的概念2函数的间断点3连续函数的性质4团区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质 函数的间断点 连续函数的性质 连续函数的概念 1.8 函数的连续性 1 2 3 4

第1讲内容函数在一点处连续的概念（*）函数的连续性判别函数在一点处是否连续的条件一点处连续与极限存在的关系函数在开区间(a,b)内连续的定义函数在闭区间[a,b]上连续的定义

一点处连续与极限存在的关系 函数在闭区间[a,b]上连续的定义 函数在开区间(a,b)内连续的定义 函 判别函数在一点处是否连续的条件 数 的 连 续 性 第1讲 内 容 函数在一点处连续的概念(*)

1函数在点x处连续的概念*变量的增量变量的微小变化设函数y=(x)在点x的某一个邻域U(x)内有定义在邻域U(x)内，若自变量x从初值x变到终值x1,则称△x=x;-x为自变量x的增量y=f(xo)f(xo+x)称△y=(xo+△x)-(xo)函数y的增量为.A1f(xo)问题：增量可以为负吗？Ax答：可以为负！0xo+△xxoX

v变量的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义 称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量为 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1  则称Dx=x1-x0为自变量x的增量 Dx Dy 1 函数在点x0处连续的概念 变量的微小变化 问题：增量可以为负吗？ 答:可以为负！

心函数在一点处连续的定义设函数 y=f(x)在点x的某一个邻域内有定义，如果lim Ay=0,△x-0那么就称函数y=(x)在点xo处连续提示：从曲线上看，连续函数是连绵不断的，在xo点处有定义自变量的增量趋于0时，因变量的增量也趋于零

v函数在一点处连续的定义 提示: 设函数 y=f (x) 在点x0的某一个邻域内有定义 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D  y x  或 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   从曲线上看，连续函数是连绵不断的，在x0点处有定义. 如果 自变量的增量趋于0时，因变量的增量也趋于零

lim △y=0,x eU(x)Ax->0自变量的定点：Xo记作x，即x=xo+△x自变量的动点：xo+△xAx->0 x →xoAy=f (xo+△x)-f (xo)lim_Ay=0 < lim [f(x)-f(xo)]=0Ax0→Xo← lim f(x)= f(xo)连续性的等价定义x-→xo

lim 0 0 D = D  y x  lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 - =  f x f x x x  lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   lim 0 0 D = D  y x  或 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   Dy=f (x0+Dx)-f (x0) lim 0 0 D = D  y x  lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 - =  f x f x x x  lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   lim 0 0 D = D  y x  lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 - =  f x f x x x  lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   ( ) 0 x x 自变量的定点：x0 自变量的动点：x0+Dx 记作 x，即 x =x0+Dx Dx0  x  x0 连续性的等价定义