弗赖登塔尔数学教育理论与思想 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威 学者。在他担任国际数学教育委员会(1CM1)主席期间，召开了第一届国际数学 教育大会(ICME一l),并创办了《Educa一tional Studies in Mathematics》杂 志，现任ICMI主席（巴黎十一大学校长）加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学 教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。” 作为一位数学家，弗赖登塔尔30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转 向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。弗赖登塔尔的数学教育理论 与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切， 可以说已经摆脱了“教育学”，（或“心理学”）加数学例子这种“传统的”数 学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献， 也正是我们特别需要借鉴之处。 第一节关于现代数学特性的论述 数学教育的研究不能离开它的对象一数学的特有规律，进入20世纪 以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数 学的特点。为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久 传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代 实数理论的诞生和约当（了ordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法， 那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。基于 这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面： 1.数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数 学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一 个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新 词汇，最终汇成一个新潮流一形式化，这是组织现代数学的重要方法之一， 也是现代数学的标志之一。事实上，这个形式化过程还在继续不断地演变着， 新的形式在不断地创造着，形式化的进程也许刚开始，它将以更自觉的方式继 续活动。 微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入傲分、积分以及 无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要 对它们进行各种描述，以及各种运算；经过了一段很长的历史，才逐渐形成了 极限的概念，才有了一形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外 衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算程 进行形式化改造的结果。 再如表示一个函数的符号，为什么应该记作f,而不宜写作f(x)、这个 道理很难叙述清楚，尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内，人们很不容 易理解它的必要性，可是当你进入泛函分析的领域，要涉及函数的集合以及它 们生成的空间，甚至进一步讨论空间之间的映射等等时，这种表达形式的精确 化，随着讨论对象的日益抽象，涉及面的日益广泛，而愈来愈显出它的迫切性
弗赖登塔尔数学教育理论与思想 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威 学者。在他担任国际数学教育委员会(1CMl)主席期间，召开了第一届国际数学 教育大会(ICME—1)，并创办了《Educa—tional Studies in Mathematics》杂 志，现任 ICMI 主席(巴黎十一大学校长)加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学 教育，本世纪的上半叶 Felix Klein 做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶 Hans Freudenthal 做出了巨大的贡献。” 作为一位数学家，弗赖登塔尔 30 年代就享有盛誉，从 50 年代起就逐渐转 向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。弗赖登塔尔的数学教育理论 与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切， 可以说已经摆脱了“教育学”，(或“心理学”)加数学例子这种“传统的”数 学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献， 也正是我们特别需要借鉴之处。 第一节 关于现代数学特性的论述 数学教育的研究不能离开它的对象——数学的特有规律，进入 20 世纪 以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数 学的特点。为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久 传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代 实数理论的诞生和约当(Jordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法， 那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。基于 这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面： 1．数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数 学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一 个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新 词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一， 也是现代数学的标志之一。事实上，这个形式化过程还在继续不断地演变着， 新的形式在不断地创造着，形式化的进程也许刚开始，它将以更自觉的方式继 续活动。 微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及 无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要， 对它们进行各种描述，以及各种运算；经过了一段很长的历史，才逐渐形成了 极限的概念，才有了 —形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外 衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算程 进行形式化改造的结果。 再如表示一个函数的符号，为什么应该记作 f，而不宜写作 f(x)、这个 道理很难叙述清楚，尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内，人们很不容 易理解它的必要性，可是当你进入泛函分析的领域，要涉及函数的集合以及它 们生成的空间，甚至进一步讨论空间之间的映射等等时，这种表达形式的精确 化，随着讨论对象的日益抽象，涉及面的日益广泛，而愈来愈显出它的迫切性
这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。 形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的 也不容许矛盾。换句话说 ,数些需要有白口特完的再 严密 精确 完整而且相容。 随着数学抽象程度的 语言表 达的严 性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语 言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程 度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的，构造不同的形式化语言 根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育， 当处不可可能要 求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿， 以形式化的现代数学内容 充塞于 各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心 理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础， 可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达 的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化， 并日云用普不同水平的搬受基言 干是如何根据学生的情况 培养他们从现实 背景中，概括出各种数学的观念 与运算，熟练地使用各种严谨的数学语言， 有 意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系，这一形式化活动的过程， 就必须贯穿在数学教育的始终。 2.数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向 公阻系练的抽兔化重认含形式的定义 ,从而在现代科学方法论的道路 迈开了决定性的 要是把康用 的集合论的创造，作为现代数 学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延 来描述 个概念，脚拉 述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念 :随者现代 数学的进展，人们感到通过“外延”的描述，从而形成概念的印象这个方法， 在不少情况下难以达到预定的目的：在更多的内容中， 人们借助于具有这些特 性的所有对象， 从各种特殊情况中 描述它们的 比性 阐述它们所必须满足的 共有关系， 解释它们所受的相关的约束、限制条件等等， 从而抽象出 个更 泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念：它的实质就是 以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延 相知 已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义， 跳出了亚里士 多的形式罗的理诊 从而使现代数学跨上 了更高水平的形式体系， 护加以 布尔巴基为代表的学说， 认为整个数学 只是对 “结构 的研 从整数的有序对来建立有理数，当然需要附上 个等价关系：那就是 的充分而又必要条件是ad=bc(这里a、b、c、d均为整数，bd≠0)，于是有理 数就作为是有序整数对的等价类，这是典型的通过外延的描述来建立有理数的 概念。可是在群的概念形成中，却采取了另外的形式， 通常是规定在某个集合 中 定义 使之 合结合律 开且仔在 单位元和 于是这个 合就成为群。这样的定义可以适用于数域，例如整数集是个加法群， 非琴有理 数集是个乘法群；同时，也可以适用于其他的如置换群与变换群，这就是因为 在群概念的抽象化过程中，并未明确规定具有有关特性的对象，而只是隐含地 阐述了它们所应该具有的条件。这在希尔伯脱的几何公理系建立过程中， ▣纪 充分体现了 这种方式， 直线、 平面乳 虽然去掉了像欧几里德所 作的 “点是没有部分的” 这类模糊的描述，但也并未给出任 可清晰的阐述，却 只是隐含地描述了点、直线、平面之间的关系与性质，而正是这些关系与性质： 在演绎推理过程中起了实质性的作用。日常生活中，我们也会有这种体会，就
这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。 形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的 数学含义，不容许混淆，也不容许矛盾。换句话说，数学需要有自己特定的语 言，严密、精确、完整而且相容。随着数学抽象程度的提高，语言表达的严密 性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语 言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程 度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的，构造不同的形式化语言。 根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育，当然不可能要 求一下子飞跃到 20 世纪数学发展的最前沿，以形式化的现代数学内容，充塞于 各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心 理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础， 可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达 的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化， 并且运用着不同水平的数学语言。于是如何根据学生的情况，培养他们从现实 背景中，概括出各种数学的观念与运算，熟练地使用各种严谨的数学语言，有 意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系，这一形式化活动的过程， 就必须贯穿在数学教育的始终。 2．数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向 实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学方法论的道路 上，迈开了决定性的一步。要是把康脱(Cantor)的集合论的创造，作为现代数 学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延”来描述一个概念，即描 述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念；随着现代 数学的进展，人们感到通过“外延”的描述，从而形成概念的印象这个方法， 在不少情况下难以达到预定的目的；在更多的内容中，人们借助于具有这些特 性的所有对象，从各种特殊情况中，描述它们的共性，阐述它们所必须满足的 共有关系，解释它们所受的相关的约束、限制条件等等，从而抽象出一个更广 泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念；它的实质就是 以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延”，但却 已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义，跳出了亚里土 多德的形式逻辑的理论，从而使现代数学跨上了更高水平的形式体系，就如以 布尔巴基为代表的学说，认为整个数学也只是对“结构”的研究。 从整数的有序对来建立有理数，当然需要附上一个等价关系：那就是～ 的充分而又必要条件是 ad＝bc(这里 a、b、c、d 均为整数，bd≠0)，于是有理 数就作为是有序整数对的等价类，这是典型的通过外延的描述来建立有理数的 概念。可是在群的概念形成中，却采取了另外的形式，通常是规定在某个集合 中，定义了一个运算，使之符合结合律，并且存在单位元和逆元，于是这个集 合就成为群。这样的定义可以适用于数域，例如整数集是个加法群，非零有理 数集是个乘法群；同时，也可以适用于其他的如置换群与变换群，这就是因为 在群概念的抽象化过程中，并未明确规定具有有关特性的对象，而只是隐含地 阐述了它们所应该具有的条件。这在希尔伯脱的几何公理系建立过程中，已经 充分体现了这种方式，点、直线、平面究竞是什么，虽然去掉了像欧几里德所 作的“点是没有部分的”这类模糊的描述，但也并未给出任何清晰的阐述，却 只是隐含地描述了点、直线、平面之间的关系与性质，而正是这些关系与性质， 在演绎推理过程中起了实质性的作用。日常生活中，我们也会有这种体会，就
像下棋，人们并不在乎棋子的大小、颜色、甚至质地与形状，注重的恰恰只是 棋子所必须服从的活动规则。 弗赖登塔尔之所以强调这 一特性 正在干他抓住了而代斯受的发显在主 法论上所起的突变。数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是 在教学过程中，让学生自己亲身实践，而抓住其发展规律，学会抽象化、形式 化的方法。就我国的数学教育而言，近年来已开始注意一些现代“结构” “公 理化”思想方法的渗透，但如何抓住其精萃，真正的“渗透” ,并日又不至太 脱离了具体的现实世界，超趣了当前教育的实践基础要使我们的数学教育脚 踏实地地赶上世界潮流，而不仅是囫囵枣 地咽下 些新名词，何况 数学 理 ”、数学“结构”，毕竟还需要人们所赖以生存的现实物质世界作为基础， 如果忘记了这个背景，再高深、再严密的抽象概念，也难以让人们掌握与领会 3.传统的数学领域之间界限的月趋消失， 一贯奉为严密性的典范的几 何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数学 领域之间起着联络的作用 加康德（： nt)所说 没有概念的直观是无用的 没有直观的概念是盲目的。当年欧几里德的《几何原本》曾被奉若神明，可是 今天，在布尔巴基学派的结构主义数学中，几何却占据了很少的篇幅， 学校数 学教育中，几何的地位也已岌岌可危，可实际情况又是怎么样呢？ 现代数学的公理化形式就是来源于希尔伯脱的几何公理系，几何的术语如 “空间 等几乎渗 ”的久 函数理论的发展，基础在于复数表示为平面的点；代数方程知 1的意义之阐 明，与复数平面中正边形的作法密切相关：集合论的研究更充分显现出几何 直观的数轴、点集、映射、.等，如何作为一种重要的组织方法；测度论是在 几何面积概念的基础上形成的，而拓扑中最有力的代数方法恰是开始于最基本 的形状 多面休的直研 大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几何背景，有关问题的解 决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的维空间甚至无限维空间的直观形象 或是找到适当的几何解释，几何形象常常导致问题解答的途径。且看爱因斯坦 的一段精辟论述：“数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学定理如果 必然就不洗及即过 ，公理化的进展就反映在逻辑形式与现实直观内容 的截然分开 而几何恰恰是在其间： 着启示 联络 理解 甚至提供方法 的作用，在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠中，几何 直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们什么是重要的、有趣的和可 以理解的。 从现代数学反映出的这一特性，给我们根出了两个方面的问颗。多少年 来数学课程的设置常在“分久必合 合久必分”的一对“分”“合”矛盾之间 周旋，算术、代数、几何、三角、微积分、 .这 一系列的学科，反映了数学先 展史中各个不同阶段：不同侧面的情况，它们自有其各自的特点与规律；再结 合学生的认识发展规律与认知过程，更需根据教学的规律来作出课程的设计， 在不同时期侧重于不同方面是完全应该的：但总的目标是显然的，即使分也不 总还应该将数学视作为 个工具以解决问题时，就必须 于综 应用代数、儿何、 等 冬种) 法，应该使之互相渗透，互相结合，从中找出最佳的组合，而不是互相割裂， 生搬硬套。 另一个问题则是对于几何教育在数学教育中的地位、作用问题，这同样
像下棋，人们并不在乎棋子的大小、颜色、甚至质地与形状，注重的恰恰只是 棋子所必须服从的活动规则。 弗赖登塔尔之所以强调这一特性，正在于他抓住了现代数学的发展在方 法论上所起的突变。数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是 在教学过程中，让学生自己亲身实践，而抓住其发展规律，学会抽象化、形式 化的方法。就我国的数学教育而言，近年来已开始注意一些现代“结构”、“公 理化”思想方法的渗透，但如何抓住其精萃，真正的“渗透”，并且又不至太 脱离了具体的现实世界，超越了当前教育的实践基础；要使我们的数学教育脚 踏实地地赶上世界潮流，而不仅是囫囵枣地咽下一些新名词，何况这些数学“公 理”、数学“结构”，毕竟还需要人们所赖以生存的现实物质世界作为基础， 如果忘记了这个背景，再高深、再严密的抽象概念，也难以让人们掌握与领会。 3．传统的数学领域之间界限的月趋消失，一贯奉为严密性的典范的几 何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数学 领域之间起着联络的作用；正如康德(Kant)所说：没有概念的直观是无用的， 没有直观的概念是盲目的。当年欧几里德的《几何原本》曾被奉若神明，可是 今天，在布尔巴基学派的结构主义数学中，几何却占据了很少的篇幅，学校数 学教育中，几何的地位也已岌岌可危，可实际情况又是怎么样呢? 现代数学的公理化形式就是来源于希尔伯脱的几何公理系，几何的术语如 “空间”、“维”、“邻域”、“映射”、.等几乎渗入了数学的各个领域．复 函数理论的发展，基础在于复数表示为平面的点；代数方程 xn＝1 的意义之阐 明，与复数平面中正 n 边形的作法密切相关；集合论的研究更充分显现出几何 直观的数轴、点集、映射、.等，如何作为一种重要的组织方法；测度论是在 几何面积概念的基础上形成的，而拓扑中最有力的代数方法恰是开始于最基本 的形状——多面体的直观研究。 大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几何背景，有关问题的解 决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的 n 维空间甚至无限维空间的直观形象， 或是找到适当的几何解释，几何形象常常导致问题解答的途径。且看爱因斯坦 的一段精辟论述：“数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学定理如果 必然，它就不涉及现实，.，公理化的进展就反映在逻辑形式与现实直观内容 的截然分开，.”而几何恰恰是在其间起着启示、联络、理解，甚至提供方法 的作用，在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠中，几何 直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们什么是重要的、有趣的和可 以理解的。 从现代数学反映出的这一特性，给我们提出了两个方面的问题。多少年 来数学课程的设置常在“分久必合，合久必分”的一对“分”“合”矛盾之间 周旋，算术、代数、几何、三角、微积分、.这一系列的学科，反映了数学发 展史中各个不同阶段；不同侧面的情况，它们自有其各自的特点与规律；再结 合学生的认识发展规律与认知过程，更需根据教学的规律来作出课程的设计， 在不同时期侧重于不同方面是完全应该的；但总的目标是显然的，即使分也不 能一分到底，完全分家，总还应该将数学视作为一个整体；当学生运用数学这 个工具以解决问题时，就必须善于综合地应用代数、几何、三角、.等各种方 法，应该使之互相渗透，互相结合，从中找出最佳的组合，而不是互相割裂， 生搬硬套。 另一个问题则是对于几何教育在数学教育中的地位、作用问题，这同样
是多年来争论不休，各不相让的问题，叫了多少年的“欧几里德滚出去”的口 号，可是仍有不少人认为，任何数学问题。最终坏是需要辣立在几何的基础上 这个话从现代数学发展的特性分析，似乎也有它 一定的道理。当然几何究竟应 该处于怎料 台当的地位 它在数学体系的 学中 可以起什么样的作用， 到底怎样才能使几何直观或是公理化思想，在人们学习数学的过程中，生根开 花，充分发挥它的效用，这自然也是研究数学教育所必须面对的重要问题。 4。相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视橱 念数学，或者说是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志 合论、抽象代数和分花 拓扑 是概念， 思辨的喷发 它冲破了传统数学的 僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的 道略。算法数学与思辩数学之间是一个相对的、辩证的关系，这并不等同于新 与旧，高与低：概念数学果然体现了机成操作运算的突破，提高了理论的深度： 而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念 深度，同时也为了有个广阔的平 ,可以跳导更高 个典型的例子，相同数量的 杯白酒与一杯红酒， 匙白酒倒) 酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的 红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反？通常的解法是：假设两酒杯容量 均为a,一匙的容量为b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为ab,第二次 动作后， 不心人合在计算过程中浅、碰壁。 在解此题时，很少人会作这 样的推理： 两个杯子最终还是含有相同数量的酒， 如果想象每 子中白酒 红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺 现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与 红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。这里的前一种解法是算法的，而后一种 解法就是思辨的。 在数学发展的历史上，算法曾经发挥了极大的威力 韦达(Vieta)的代 数，笛卡尔的解析几何，莱布尼兹的微积分，都是这方面的出色成果， 近年才 的同调论以及同态图解法也是惊人的例子，算法数学确实有其迷人之处，通过 算法的操作往往可以增加人们的自信与能力。数学发展的历史，当然也反映了 沉迷于算法之中，会使人们的思想受到束缚与桎楷，必须跳出这个圈子，才能 在数学的视野范围上有所拓广、有所深入，墨守成规地机械操作，必须随之以 概念的革新，思维的组织，形成新的结构与新的体系。集合论的诞生，公理系 统的建立，布尔巴基学派的出现，又证明了这一点。 如何根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系，来组织我们的数学教 育，也是经常使人感到困惑的问题之一。其实这个问题，就是知识与技能的关 系，是品调念，品理解坏是若重坛算， 着重操作？有人认为理解是基础， 有人又主张熟能生 在我国的中小学数学教育中， 似乎也不乏这方面的颇具 说服力的例子，算术中的九九表，分数的运算；国外对于计算器使用的教育等 看来也必须用辩证的方法来处理这一辩证的关系，应该使我们的数学教育，能 在算法的数学与思辨的数学两方面，都给学生以足够的训练与培养，更重要的 还在于，要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中。 第二节 关于数学教育目的的探讨 学习数学究竟是为了什么？进行数学教育，最终要达到什么效果？弗赖登塔 尔认为，提出数学教育的目的，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育
是多年来争论不休，各不相让的问题，叫了多少年的“欧几里德滚出去”的口 号，可是仍有不少人认为，任何数学问题。最终还是需要建立在几何的基础上， 这个话从现代数学发展的特性分析，似乎也有它一定的道理。当然几何究竟应 该处于怎样一个恰当的地位，它在数学体系的教学中，可以起什么样的作用， 到底怎样才能使几何直观或是公理化思想，在人们学习数学的过程中，生根开 花，充分发挥它的效用，这自然也是研究数学教育所必须面对的重要问题。 4．相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概 念数学，或者说是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志——集 合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念，思辨的喷发，它冲破了传统数学的 僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的 道路。算法数学与思辩数学之间是一个相对的、辩证的关系，这并不等同于新 与旧，高与低；概念数学果然体现了机械操作运算的突破，提高了理论的深度； 而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念 深度，同时也为了有个广阔的平台为基础，可以跳导更高。 一个典型的例子，相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红 酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的 红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反?通常的解法是：假设两酒杯容量 均为 a，一匙的容量为 b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为 a-b，第二次 动作后，.，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁。在解此题时，很少人会作这 样的推理：两个杯子最终还是含有相同数量的酒，如果想象每个杯子中白酒和 红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺 现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与 红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。这里的前一种解法是算法的，而后一种 解法就是思辨的。 在数学发展的历史上，算法曾经发挥了极大的威力。韦达(Vieta)的代 数，笛卡尔的解析几何，莱布尼兹的微积分，都是这方面的出色成果，近年来 的同调论以及同态图解法也是惊人的例子，算法数学确实有其迷人之处，通过 算法的操作往往可以增加人们的自信与能力。数学发展的历史，当然也反映了 沉迷于算法之中，会使人们的思想受到束缚与桎梏，必须跳出这个圈子，才能 在数学的视野范围上有所拓广、有所深入，墨守成规地机械操作，必须随之以 概念的革新，思维的组织，形成新的结构与新的体系。集合论的诞生，公理系 统的建立，布尔巴基学派的出现，又证明了这一点。 如何根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系，来组织我们的数学教 育，也是经常使人感到困惑的问题之一。其实这个问题，就是知识与技能的关 系，是强调概念，强调理解，还是着重运算，着重操作?有人认为理解是基础， 有人又主张熟能生巧。在我国的中小学数学教育中，似乎也不乏这方面的颇具 说服力的例子，算术中的九九表，分数的运算；国外对于计算器使用的教育等， 看来也必须用辩证的方法来处理这一辩证的关系，应该使我们的数学教育，能 在算法的数学与思辨的数学两方面，都给学生以足够的训练与培养，更重要的 还在于，要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中。 第二节 关于数学教育目的的探讨 学习数学究竟是为了什么?进行数学教育，最终要达到什么效果?弗赖登塔 尔认为，提出数学教育的目的，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育
的目的必须随着时代的变化而变化，它也必然受到社会条件的约束与限制。例 如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术的单纯计算技能作为基 本的目的？这是否还有教育价值 另一方面，在概率与数理统计取得迅速进展的情况下，我们的数学教育 是否还能闭眼不看这一事实，而仍然抱住了确定性数学作为唯一的指望？那就是 说，数学本身的飞跃发展与变化，自然也影响到数学教育的目的，因为我们毕 竟是要让学生能运用数学来解决社会的实际问题。可是，数学有着如此广泛的 应用， 话的 问题就是学生的情况，因为需要是 会事，可能又是另 会事 这依赖于学生的接受能力，是否能理解某些数学内容，当然这也必须包括教学 过程中所作出的各种努力：就像有些试验声称小学就可以教群论，这恐怕是 种过于夸张的说法，如果仅仅是用几个特殊的群进行一些具体运算，恐伯只是 行家才知道他们在学习群论，对学生来说，这只是 一些右用的学习活动。但书 未理解 的古。 实质 弗赖登塔尔对通常提到的一些数学教育的目的，进行了仔细的分析与探 讨： 1，堂操数学的整个体系 因为数学的应用广泛，又有高度的灵活性，每个人将来究竟需要用到哪 些概念和技能，难以预料， 于是只能根据数学内在的体系出发 希望通过数学 教育能够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符合数学体系的要求，能 够紧密地组合成一个整体，彼此联系密切。 这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不是为了培养数学家，大 多数人只需要用到一些简单的数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的 个方面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强调数学体系， 以之作 为数学育的最终目的，那不恰当的 特别是如果仅仅以数学体系来决定学 内容的取舍，那必然会违反教学法的规律：甚至引起学生反感。 这种目的的提出， 一般都出自于专家权威，他们更多地倾向于培养数学 家，更多地着眼于数学的严密与完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽 略了社会的要求与学生的实际 2 学会数学的实际应用 应该知道，从过去、现在 直到未来，教数学的教室不可能浮在半空中 而学数学的学生也必然是属于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应 该是数学教育的首要目的，也就是必须学会数学在解决实际问题中的作用、会运 用数学知识于具体现实，而不是一味追求完整的数学体系。 大安都同音】 ,教数学就必须教互相连贯的材料， 而不是孤立的片断，但 这并非只限于数学内部的逻辑联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。 这也不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使数学僵化，而数学的 最大特点就是灵活性。所以一般说来，还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生 硬的或是过于形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这种内部与外部的联 系，譬如说通过数学与其他自然科学的生动联系 目前物理、 化学的数学与 学的教学显然是互相割裂、各行其是的，尤其在教师培训工作中，问题更为 重。 了解数学与外界的丰富联系，不仅使数学成为应用于实际的锐利工具， 而且将会使人们所掌握的知识长期地富有活力，可以断地联系实际、发挥作用
的目的必须随着时代的变化而变化，它也必然受到社会条件的约束与限制。例 如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术的单纯计算技能作为基 本的目的?这是否还有教育价值? 另一方面，在概率与数理统计取得迅速进展的情况下，我们的数学教育 是否还能闭眼不看这一事实，而仍然抱住了确定性数学作为唯一的指望?那就是 说，数学本身的飞跃发展与变化，自然也影响到数学教育的目的，因为我们毕 竟是要让学生能运用数学来解决社会的实际问题。可是，数学有着如此广泛的 应用，究竟教到哪个范围才是最合适的? 再一个问题就是学生的情况，因为需要是一会事，可能又是另一会事， 这依赖于学生的接受能力，是否能理解某些数学内容，当然这也必须包括教学 过程中所作出的各种努力；就像有些试验声称小学就可以教群论，这恐怕是一 种过于夸张的说法，如果仅仅是用几个特殊的群进行一些具体运算，恐伯只是 行家才知道他们在学习群论，对学生来说，这只是一些有用的学习活动，但并 未理解它的真正实质。 弗赖登塔尔对通常提到的一些数学教育的目的，进行了仔细的分析与探 讨： 1．掌握数学的整个体系 因为数学的应用广泛，又有高度的灵活性，每个人将来究竟需要用到哪 些概念和技能，难以预料，于是只能根据数学内在的体系出发，希望通过数学 教育能够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符合数学体系的要求，能 够紧密地组合成一个整体，彼此联系密切。 这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不是为了培养数学家，大 多数人只需要用到一些简单的数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的一 个方面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强调数学体系，以之作 为数学教育的最终目的，那不恰当的，特别是如果仅仅以数学体系来决定教学 内容的取舍，那必然会违反教学法的规律；甚至引起学生反感。 这种目的的提出，一般都出自于专家权威，他们更多地倾向于培养数学 家，更多地着眼于数学的严密与完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽 略了社会的要求与学生的实际。 2．学会数学的实际应用 应该知道，从过去、现在一直到未来，教数学的教室不可能浮在半空中， 而学数学的学生也必然是属于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应 该是数学教育的首要目的,也就是必须学会数学在解决实际问题中的作用、会运 用数学知识于具体现实，而不是一味追求完整的数学体系。 大家都同意，教数学就必须教互相连贯的材料，而不是孤立的片断，但 这并非只限于数学内部的逻辑联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。当然 这也不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使数学僵化，而数学的 最大特点就是灵活性。所以一般说来,还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生 硬的或是过于形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这种内部与外部的联 系，譬如说通过数学与其他自然科学的生动联系，目前物理、化学的教学与数 学的教学显然是互相割裂、各行其是的，尤其在教师培训工作中，问题更为严 重。 了解数学与外界的丰富联系，不仅使数学成为应用于实际的锐利工具， 而且将会使人们所掌握的知识长期地富有活力，可以断地联系实际、发挥作用