弗赖登塔尔的数学教学原则 一、“数学现实”原则 数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。 因而，数学来源于现实，并且应用于现实。这是弗赖 登塔尔的基本出发点。据此，他提出数学教育应该是 现实数学的教育，它应该源于现实、寓于现实、用于 现实。数学教育应该通过具体的问题来教抽象的数学 内容，它应该从学习者所经历所接触的客观实际开 始，从中提出问题，然后升华归结为数学概念或运算 法则。例如，可以通过公共汽车经过各站上下车人数 的增减来使学生形成加减法的概念及其运算法则；运 用商店销售不同商品所获得的利润计算，帮助学生形 成矩阵的概念，矩阵的运算和运算法则：用血压的变 化介绍一般周期函数的概念。他认为数学教学内容应 该是现实客观事物各种关系的反映，只有教源于现实 关系、寓于现实关系的数学，才能使学生明白和学会 如何从现实中提出问题和解决问题，如何将所学知识 更好地应用于现实，今后也不会轻易忘记。 弗氏的“数学现实”的另一层含义是，要求数学 教育为社会培养各种不同层次的数学人才和根据每 个学生的数学现实世界进行教学。他认为，每个人都
弗赖登塔尔的数学教学原则 一、“数学现实”原则 数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。 因而，数学来源于现实，并且应用于现实。这是弗赖 登塔尔的基本出发点。据此，他提出数学教育应该是 现实数学的教育，它应该源于现实、寓于现实、用于 现实。数学教育应该通过具体的问题来教抽象的数学 内容，它应该从学习者所经历所接触的客观实际开 始，从中提出问题，然后升华归结为数学概念或运算 法则。例如，可以通过公共汽车经过各站上下车人数 的增减来使学生形成加减法的概念及其运算法则；运 用商店销售不同商品所获得的利润计算，帮助学生形 成矩阵的概念，矩阵的运算和运算法则；用血压的变 化介绍一般周期函数的概念。他认为数学教学内容应 该是现实客观事物各种关系的反映，只有教源于现实 关系、寓于现实关系的数学，才能使学生明白和学会 如何从现实中提出问题和解决问题，如何将所学知识 更好地应用于现实，今后也不会轻易忘记。 弗氏的“数学现实”的另一层含义是，要求数学 教育为社会培养各种不同层次的数学人才和根据每 个学生的数学现实世界进行教学。他认为，每个人都
有自己的一套“数学现实”，所以数学教育必须面向 全体学生，培养适应不同层次、不同行业需要的数学 人才，从只要掌握简单基本数学知识的售货员，有 定深度的数学知识的各种工程技术人员，直到从事高 水平研究的专家。 二、数学化原则 弗赖登塔尔的名言是：已其说是学习数学，还不 如说是学习“数学化”；以其说是学习公理系统，还 不如说是学习“公理化”；以其说是学习形式体系， 还不如说是学习“形式化”，这是颇有见地的。他认 为，人们应用数学的思想方法来观察现实世界，分析 研究各种具体事物，并加以整理组织，经过进一步形 式化、抽象化形成新的数学概念、方法、思想等，这 个过程就是数学化。由于客观事物的不断变化和发展， 人类认识的范围和深度要不断地拓广和深化，数学化 也因此表现为一种由浅入深、具有不同层次、不断发 展的过程。因此，数学的产生和发展本身也是数学化 的过程。对数学本身进行数学化，既可以是某些数学 知识的深化，也可以是对已有的数学知识进行重新整 理和组织，使其体系更系统、更完美。 他认为，传统的指导思想强调数学化是数学家的 职责，学生只需掌握现成的知识，因而数学教学内容
有自己的一套“数学现实”，所以数学教育必须面向 全体学生，培养适应不同层次、不同行业需要的数学 人才，从只要掌握简单基本数学知识的售货员，有一 定深度的数学知识的各种工程技术人员，直到从事高 水平研究的专家。 二、 数学化原则 弗赖登塔尔的名言是：已其说是学习数学，还不 如说是学习“数学化”；以其说是学习公理系统，还 不如说是学习“公理化”；以其说是学习形式体系， 还不如说是学习“形式化”，这是颇有见地的。他认 为，人们应用数学的思想方法来观察现实世界，分析 研究各种具体事物，并加以整理组织，经过进一步形 式化、抽象化形成新的数学概念、方法、思想等，这 个过程就是数学化。由于客观事物的不断变化和发展， 人类认识的范围和深度要不断地拓广和深化，数学化 也因此表现为一种由浅入深、具有不同层次、不断发 展的过程。因此，数学的产生和发展本身也是数学化 的过程。对数学本身进行数学化，既可以是某些数学 知识的深化，也可以是对已有的数学知识进行重新整 理和组织，使其体系更系统、更完美。 他认为，传统的指导思想强调数学化是数学家的 职责，学生只需掌握现成的知识，因而数学教学内容
大多是数学化的结果而不是其本身。这就造成了学生 所学知识与实际背景相脱离，结果是他们对一些概念、 定理、法则虽然能倒背如流，却不懂得如何运用它们， 即使面对日常生活中的简单问题也常常束手无策。要 改变这种局面就应让学生学习数学化。在最低水平上， 应让学生学习如何将非数学事物数学化，根据客观现 实形成数学概念、构造数学模型等，以保证数学的应 用性。在下一个水平上则应让学生学习如何构造数学 内容，数学化数学本身。数学化是一个发展的过程， 学习数学化也是一个发展过程。学生在学习数学化的 同时也学到了一定的数学知识。 三、再创造原则 弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或 已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。完 成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它完全 颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们的 是思维的结果；活动的数学则是数学家发现和创造数 学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折 又生动有趣的活动过程。 弗氏认为数学教育方法的核心是学生的“再创 造”。数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都 可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知
大多是数学化的结果而不是其本身。这就造成了学生 所学知识与实际背景相脱离，结果是他们对一些概念、 定理、法则虽然能倒背如流，却不懂得如何运用它们， 即使面对日常生活中的简单问题也常常束手无策。要 改变这种局面就应让学生学习数学化。在最低水平上， 应让学生学习如何将非数学事物数学化，根据客观现 实形成数学概念、构造数学模型等，以保证数学的应 用性。在下一个水平上则应让学生学习如何构造数学 内容，数学化数学本身。数学化是一个发展的过程， 学习数学化也是一个发展过程。学生在学习数学化的 同时也学到了一定的数学知识。 三、 再创造原则 弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或 已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。完 成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它完全 颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们的 是思维的结果；活动的数学则是数学家发现和创造数 学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折 又生动有趣的活动过程。 弗氏认为数学教育方法的核心是学生的“再创 造”。数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都 可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知
识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育 必须以“再创造”的方式来进行。教师不必将各种规 则定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供 很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己“再 创造”出各种运算法则，或是发现有关各种知识，让 学生通过自己的“再创造”学习过程获得知识。 弗氏认为传统的数学教育方式是“违反教学法的 颠倒”。数学家从不按照他们的发现、创造的真实过 程来介绍他们的工作，教科书更是常常将通过分析法 所得的结论采取综合法的形式来叙述，传授给学生的 是现成的数学，因而严重阻塞了学生“再发现”、“再 创造”数学的通道。真正的数学教育应该是活动或创 新的数学，遵循数学发展史所表明的渐近系统化的过 程，教活动的数学，应教学生象数学家那样用再创造 的方法去学习。他认为：“学一个活动的最好方法是 实践。”其目的是将强调的重点从教转向学，从教师 的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动 的效应，要让学生在学习数学的活动中学会再创造。 “再创造”和我们常说的“发现法”有相似之处，“发 现法”是“再创造”的一种形式，而一般而言，“发 现法”并未真正接触数学思维本质，只是教师设置一 些“圈套”牵着学生的鼻子走，学生还是处于被动状
识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育 必须以“再创造”的方式来进行。教师不必将各种规 则定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供 很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己“再 创造”出各种运算法则，或是发现有关各种知识，让 学生通过自己的“再创造”学习过程获得知识。 弗氏认为传统的数学教育方式是“违反教学法的 颠倒”。数学家从不按照他们的发现、创造的真实过 程来介绍他们的工作，教科书更是常常将通过分析法 所得的结论采取综合法的形式来叙述，传授给学生的 是现成的数学，因而严重阻塞了学生“再发现”、“再 创造”数学的通道。真正的数学教育应该是活动或创 新的数学，遵循数学发展史所表明的渐近系统化的过 程，教活动的数学，应教学生象数学家那样用再创造 的方法去学习。他认为：“学一个活动的最好方法是 实践。”其目的是将强调的重点从教转向学，从教师 的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动 的效应，要让学生在学习数学的活动中学会再创造。 “再创造”和我们常说的“发现法”有相似之处，“发 现法”是“再创造”的一种形式，而一般而言，“发 现法”并未真正接触数学思维本质，只是教师设置一 些“圈套”牵着学生的鼻子走，学生还是处于被动状
态，并且“发现”的内容往往只限于某个狭窄的题材 难度不高的内容，或是用一些具体的材料。所以，“发 现法”只能理解为带有一定限制条件的“再创造”， 或者说是处于低水平的一种“再创造”活动。 “再创造”作为一条数学教学原则，弗赖登塔尔 指出其合理之处至少有以下三点教育学依据： 1.学生通过自身活动所获得的知识和能力远比被动接 受教师传授的理解得透彻、掌握得快，可以保持较长 久的记忆，而且由于它来源于实现，也就能快而容易 地应用于现实。 2.“再创造”也是一种发现，发现是一种乐趣，它能 激发学生的学习兴趣，并转化为推动他们积极探索的 内在动力。 3.通过“再创造”方式，可以进一步使学生认识到数 学也是人类的一种活动。 四、思想实验原则 思想实验原则就是要求教师在全面了解学生思 想、行为的基础上进行教学，要求教师在课前要充分 想象和考虑到学生在课堂上对教学内容可能存在的 各种态度、观点和反映，以及准备如何正确合理而又 恰到好处地回答和处理他们提出的问题，要求教师在 思想实验中完成如何启发引导学生，如何向他们演示
态，并且“发现”的内容往往只限于某个狭窄的题材、 难度不高的内容，或是用一些具体的材料。所以，“发 现法”只能理解为带有一定限制条件的“再创造”， 或者说是处于低水平的一种“再创造”活动。 “再创造”作为一条数学教学原则，弗赖登塔尔 指出其合理之处至少有以下三点教育学依据： 1.学生通过自身活动所获得的知识和能力远比被动接 受教师传授的理解得透彻、掌握得快，可以保持较长 久的记忆，而且由于它来源于实现，也就能快而容易 地应用于现实。 2.“再创造”也是一种发现，发现是一种乐趣，它能 激发学生的学习兴趣，并转化为推动他们积极探索的 内在动力。 3.通过“再创造”方式，可以进一步使学生认识到数 学也是人类的一种活动。 四、 思想实验原则 思想实验原则就是要求教师在全面了解学生思 想、行为的基础上进行教学，要求教师在课前要充分 想象和考虑到学生在课堂上对教学内容可能存在的 各种态度、观点和反映，以及准备如何正确合理而又 恰到好处地回答和处理他们提出的问题，要求教师在 思想实验中完成如何启发引导学生，如何向他们演示