波利亚(George Polya,1887-1985)，美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒 于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获 博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940 年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。 他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。曾著有《怎样解题》 《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。他 生发表了200多篇论文和许多专著，在数学的广阔领域内有精深的造诣， 对实变函数、复数函数、概率论、纵使数学、数论、几何和微分方程等若 干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他名字命名的术语和定理。 生平简介 乔治·波利亚的父亲雅可布(Jkob)是一名律师。他的兄长尤金 (Eugene).比他大11岁，是著名的外科医生，现在的一种胃外科手术就是以 他命名的.年轻的波利亚在布达佩斯的一所预科学校（即大学预备中学）读 书时，有浓厚的学习兴趣，经常名列前茅，曾参加过两个自学小组一一数 理组和文学组。但数学教师给他的印象不好，所以他对数学并不十分感兴 趣。当时，许多人参加一项颇有影响的埃特沃斯数学竞赛，它是以匈牙利 杰出的物理学家L.埃特沃斯(Etvs)命名的，这种竞赛的开展使匈牙利产生 了一批世界第一流的数学家.波利亚在别人的劝说下参加了这项竞赛，不 但没有获胜，甚至连试卷都没交上，他的拉丁语、匈牙利语教师都是些 流的教师，这使他对文学特别感兴趣，尤其喜欢德国大诗人H.海涅（但eine) 的作品，曾将海涅的诗作译成匈牙利文而获奖.他因为与海涅有相同的生 日一 -12月13日而感到自豪，后来甚至组织了一个「13日生日俱乐部」 将出生在13日的朋友与同事组织在一起. 因为他的学业成绩优秀，1905年波利亚进入布达佩斯大学学习，他的 母亲安娜·波利亚(Anna Polya)竭力劝他从事他父亲的法律职业，他便遵 从母亲的意愿到布达佩斯大学的法学院学习，但是只坚持了一个学期，便 对学习法律感到厌倦，一度想改学生物学，在他兄长劝阻下，放弃了这个 念头，而改学语言与文学。两年后他通过了教师资格证书考试，可以在预 科学校低年级一一学生年龄在10岁到14岁之间一 一教拉门丁语和匈牙利 语，但他从未使用过这个证书.此时，波利亚又将兴趣转向哲学，他的哲 学课老师亚历山大(Alexander)教授认为学习物理与数学有助于对哲学的 理解，因而劝他将这两门课程作为他学习哲学的一部分，从此波利亚开始 认真学习物理与数学.1977年他90岁时回忆这一段学习情况说：「事实 上，我不是直接选中数学这一行的.我对物理和哲学更有兴趣，.我认 为我并不擅长搞物理，但很适合于搞哲学，数学则介于两者之间.」在布 达佩斯大学读书期间，物理学家埃特沃斯教授是他的物理课教师，给予波 利亚以很大的影响.但影响最大的是匈牙利数学家L.费耶尔(Fejr)
波利亚（George Polya，1887-1985），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒 于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获 博士学位。1914 年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938 年任数理学院院长。1940 年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963 年获美国数学会功勋奖。 他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。曾著有《怎样解题》、 《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。他一 生发表了 200 多篇论文和许多专著，在数学的广阔领域内有精深的造诣， 对实变函数、复数函数、概率论、纵使数学、数论、几何和微分方程等若 干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他名字命名的术语和定理。 生平简介 乔治·波利亚的父亲雅可布(Jakob)是一名律师。他的兄长尤金 (Eugene)比他大 11 岁，是著名的外科医生，现在的一种胃外科手术就是以 他命名的．年轻的波利亚在布达佩斯的一所预科学校(即大学预备中学)读 书时，有浓厚的学习兴趣，经常名列前茅．曾参加过两个自学小组——数 理组和文学组．但数学教师给他的印象不好，所以他对数学并不十分感兴 趣。当时，许多人参加一项颇有影响的埃特沃斯数学竞赛，它是以匈牙利 杰出的物理学家 L. 埃特沃斯(Etvs)命名的，这种竞赛的开展使匈牙利产生 了一批世界第一流的数学家．波利亚在别人的劝说下参加了这项竞赛，不 但没有获胜，甚至连试卷都没交上．他的拉丁语、匈牙利语教师都是些一 流的教师，这使他对文学特别感兴趣，尤其喜欢德国大诗人 H．海涅(Heine) 的作品，曾将海涅的诗作译成匈牙利文而获奖．他因为与海涅有相同的生 日——12 月 13 日而感到自豪，后来甚至组织了一个「13 日生日俱乐部」， 将出生在 13 日的朋友与同事组织在一起． 因为他的学业成绩优秀，1905 年波利亚进入布达佩斯大学学习，他的 母亲安娜·波利亚(Anna Polya)竭力劝他从事他父亲的法律职业，他便遵 从母亲的意愿到布达佩斯大学的法学院学习，但是只坚持了一个学期，便 对学习法律感到厌倦．一度想改学生物学，在他兄长劝阻下，放弃了这个 念头，而改学语言与文学．两年后他通过了教师资格证书考试，可以在预 科学校低年级——学生年龄在 10 岁到 14 岁之间—— 教拉丁语和匈牙利 语，但他从未使用过这个证书．此时，波利亚又将兴趣转向哲学，他的哲 学课老师亚历山大(Alexander)教授认为学习物理与数学有助于对哲学的 理解，因而劝他将这两门课程作为他学习哲学的一部分，从此波利亚开始 认真学习物理与数学． 1977 年他 90 岁时回忆这一段学习情况说：「事实 上，我不是直接选中数学这一行的．我对物理和哲学更有兴趣，.我认 为我并不擅长搞物理，但很适合于搞哲学，数学则介于两者之间．」在布 达佩斯大学读书期间，物理学家埃特沃斯教授是他的物理课教师，给予波 利亚以很大的影响． 但影响最大的是匈牙利数学家 L． 费耶尔(Fejér)
他在傅里叶级数方面有很大的贡献。费耶尔经常与他的学生们坐在布达佩 斯的咖啡馆里讨论解决一些重要的数学问题，并且讲述他所知道的数学家 的故事，结果吸引了相当一部分天才学生进入他的数学圈.这些学生中 除波利亚外，还有后来成为著名数学家的P.爱尔特希(Erds)、G.爱尔 特希(Erds)、G.赛格(Szeg)、0.赛格(Szeg)、0.萨斯(Szasz)、M. 斯(zasz)、M.费克特(Fe-kete)、M.费克特(Fe-kete)、M.里斯(Riesz)、 J.里斯(Riesz)、J.艾盖尔瓦里(Egervary)、F.艾盖尔瓦里(Egervary)、 F.卢卡茨(Lukacz)、T.卢卡茨(Lukacz)、T.拉多(Rado)、P.拉多(Rado)、 P. 图兰(Tur@n)等.图兰(Turn)等. 1910一1911年整整一学年，波利亚是在维也纳大学度过的.1912年 回布达佩斯大学接受哲学博士学位，学位论文的题目是「概率论计算中的 一些问题及其有关的定积分」(Some questions ofthe calculus of probability,and some definite integrals asso-ciated with it). 得博十学位后，波利亚先后在格丁根大学(1912一1913年)以及田黎大学 (1914年)从事博士后研究工作，结识了格丁根大学的著名数学家F.克莱 因(Klein)、D.克莱因(Klein)、D.希尔伯特（佃ilbert)、K.希尔伯特 (Hilbert)、K.龙格(Runge)、E.龙格(Runge)、E.兰道(Landau)等， 在巴黎见到了法国数学家E.兰道(Landau)等，在巴黎见到了法因数学家 E.皮卡(Picard)和J.皮卡(Picard)和J.阿达马(hada-mard).阿达马 (Hada-mard),这些数学家对波利亚后来的研究工作都产生了很大影响. 1914年秋，他接受了德国数学家A.胡尔维茨(Hurwitz)的邀请，去苏 黎世的瑞士联邦工学院任教，从此开始了他的教学生涯 第一次世界大战期间，他曾想入伍服兵役，但因年幼时，踢足球腿部 受伤而留下后遗症，兵役检查后，被拒绝参军。后来局势严重起来，兵源 大量缺乏，匈牙利军方要求他从瑞士回来申请入伍，但他已经深受英国数 学家和哲学室、公开的反战论者B.罗素(Russel1)的影响，拒绝服兵役， 这使他长期不能再回匈牙利. 1918年波利亚与斯特拉·韦伯(Stella Vera Weber)结婚，斯特拉是瑞 士人，纳沙泰尔大学的一位物理教授的女儿，从此，波利亚建立了一个美 满的家庭，夫妇共同生活长达67年.波利亚没有子女.斯特拉生长于讲 法语的瑞士西部，因此她讲法语，婚后波利亚夫妇居住在讲德语的瑞士北 部地区，于是波利亚生活在三种语言环境中，正投合他对语言的爱好.波 利亚能够用匈牙利语、法语、德语、意大利语、英语和丹麦语6种语言写 作论文，此外，他还在学校里正规地学习过拉丁语和希腊适· 1924年在英闲数学家G.H.哈代(Hardy)的推荐下，波利亚作为 际洛克菲勒学会成员去英国逗留了一年，曾先后访问生津大学、剑桥大学 等著名高等学府.在此期间参加了由哈代与J.E.E,李特尔伍德
他在傅里叶级数方面有很大的贡献． 费耶尔经常与他的学生们坐在布达佩 斯的咖啡馆里讨论解决一些重要的数学问题，并且讲述他所知道的数学家 的故事，结果吸引了相当一部分天才学生进入他的数学圈．这些学生中， 除波利亚外，还有后来成为著名数学家的 P．爱尔特希(Erd s)、G．爱尔 特希(Erd s)、G． 赛格(Szeg )、O．赛格(Szeg )、O． 萨斯(Szász)、M．萨 斯(Szász)、M． 费克特(Fe-kete)、M．费克特(Fe-kete)、M． 里斯(Riesz)、 J．里斯(Riesz)、J． 艾盖尔瓦里(Egerváry)、F．艾盖尔瓦里(Egerváry)、 F． 卢卡茨(Lukacz)、T．卢卡茨(Lukacz)、T． 拉多(Rado)、P．拉多(Rado)、 P． 图兰(Turán)等．图兰(Turán)等． 1910—1911 年整整一学年，波利亚是在维也纳大学度过的． 1912 年 回布达佩斯大学接受哲学博士学位，学位论文的题目是「概率论计算中的 一些问题及其有关的定积分」(Some questions ofthe calculus of probability，and some definite integrals asso-ciated with it)．获 得博士学位后，波利亚先后在格丁根大学(1912—1913 年)以及巴黎大学 (1914 年)从事博士后研究工作．结识了格丁根大学的著名数学家 F． 克莱 因(Klein)、D．克莱因(Klein)、D． 希尔伯特(Hilbert)、K．希尔伯特 (Hilbert)、K． 龙格(Runge)、E．龙格(Runge)、E． 兰道(Landau)等， 在巴黎见到了法国数学家 E．兰道(Landau)等，在巴黎见到了法国数学家 E． 皮卡(Picard)和 J．皮卡(Picard)和 J． 阿达马(Hada-mard)．阿达马 (Hada-mard)． 这些数学家对波利亚后来的研究工作都产生了很大影响． 1914 年秋，他接受了德国数学家 A．胡尔维茨(Hurwitz)的邀请，去苏 黎世的瑞士联邦工学院任教，从此开始了他的教学生涯． 第一次世界大战期间，他曾想入伍服兵役． 但因年幼时，踢足球腿部 受伤而留下后遗症，兵役检查后，被拒绝参军．后来局势严重起来，兵源 大量缺乏，匈牙利军方要求他从瑞士回来申请入伍，但他已经深受英国数 学家和哲学家、公开的反战论者 B．罗素(Russell)的影响，拒绝服兵役， 这使他长期不能再回匈牙利． 1918 年波利亚与斯特拉·韦伯(Stella Vera Weber)结婚，斯特拉是瑞 士人，纳沙泰尔大学的一位物理教授的女儿，从此，波利亚建立了一个美 满的家庭，夫妇共同生活长达 67 年．波利亚没有子女． 斯特拉生长于讲 法语的瑞士西部，因此她讲法语，婚后波利亚夫妇居住在讲德语的瑞士北 部地区，于是波利亚生活在三种语言环境中，正投合他对语言的爱好．波 利亚能够用匈牙利语、法语、德语、意大利语、英语和丹麦语 6 种语言写 作论文，此外，他还在学校里正规地学习过拉丁语和希腊语． 1924 年在英国数学家 G． H． 哈代(Hardy)的推荐下，波利亚作为国 际洛克菲勒学会成员去英国逗留了一年，曾先后访问牛津大学、剑桥大学 等著名高等学府.在此期间参加了由哈代与 J． E． E． 李特尔伍德
(Littlewood)主持的经典著作《不等式》(Inequalities)的写作，此书在 1934年由剑桥大学出版社出版. 1928年在瑞士联邦工学院，波利亚破格直接晋升为教授 在20世纪30年代，波利亚就一系列数学问题与法因数学家G.朱利 亚(Julia)进行过密切合作. 1933年他再次获得洛克菲勒的资助去美国普 林斯顿大学访问.这一年夏天，又接受了丹麦出生的美国数学家H.F,布 利克弗尔特(Blichfeldt)的邀请，访问了美国加利福尼亚的斯坦福大学， 1940年，欧洲正在卷入第二次世界大战，波利亚决定离开瑞士，经葡 萄牙首都里斯本转道去了美国当时欧洲各国学术界人士为躲避纳粹德国 的迫害，纷纷逃离欧洲蜂拥入美国，使得在美国找到合适的工作很困难，波 利亚先在布朗大学任客座教授两年，然后接受了斯坦福大学的聘任，1942 年1月，他的夫人去美国西海岸加利福尼亚的帕洛阿尔托购买了他们的寓 所，开始了他们在美国的定居生活 1953年，波利亚从斯田福大学退职，但他继续从事教学与写作，对教 师的培训工作越来越感兴趣，并在一些师范院校任教他热爱教学工作. 直 至1978年93岁高龄时，仍亲自讲课除了本文在后面还要详述的几部解题 研究与数学方法论的书以外，1974年他与G.拉塔(Latta)合作撰写了 复变量的教科书，与J.基尔帕特里克(Kilpatrick)合着《斯坦福数学问 题集》(The stanfordmathematics problem book,l974).他还着有《科 学中的数学方法》(Mathematical methods in science,1963)、《组合学 导引的札记》(Notes on introductory combinatorics,l984)等. 波利亚漫长一生的最后几年里视力极度下降，就借助于有放大作用的 阅读机继续坚持阅读并回答别人的问题，甚至还想学习计算器，他不断地 向别人述说：「我的数学兴趣还没有完！」 由于科学上所取得的众多成就，他先后成为法国科学院、美国艺术与 科学研究院、匈牙利科学院、美国科学院的院士以及布鲁塞尔的国际哲学 与科学协会的会员，他还是伦敢数学协会、瑞士数学学会、纽约科学院等 的名誉成员 为了表彰波利亚的特殊贡献，1963年美国数学协会(MAA)授予他数学杰 出贡献奖(The award for distinguished serviceto mathematics).l968 年在美国教育影片图书馆协会(Educa-tional film library association) 举办的第10届电影节上，因为用他的讲演制作的影片「让我们教猜想」(Lt us teach guessing)而授予他蓝绶最高奖， 为了纪念波利亚，美国工业与应用数学学会设立了组合理论及其应用 的波利亚奖，由美国数学协会提供了大学数学杂志的波利亚写作奖，由美 国数学教师委员会提供了数学竞赛的波利亚奖(1978一1980).他曾长期」 作的斯坦福大学命名了一座「波利亚楼」(Polya Hal1),在数学图书馆里 悬挂了他的肖像，这是馆内唯一的科学家肖像.斯坦福大学还出版了他的
(Littlewood)主持的经典著作《不等式》(Inequalities)的写作，此书在 1934 年由剑桥大学出版社出版． 1928 年在瑞士联邦工学院，波利亚破格直接晋升为教授． 在 20 世纪 30 年代，波利亚就一系列数学问题与法国数学家 G． 朱利 亚(Julia)进行过密切合作． 1933 年他再次获得洛克菲勒的资助去美国普 林斯顿大学访问．这一年夏天，又接受了丹麦出生的美国数学家 H． F．布 利克弗尔特(Blichfeldt)的邀请，访问了美国加利福尼亚的斯坦福大学． 1940 年，欧洲正在卷入第二次世界大战，波利亚决定离开瑞士，经葡 萄牙首都里斯本转道去了美国．当时欧洲各国学术界人士为躲避纳粹德国 的迫害，纷纷逃离欧洲蜂拥入美国，使得在美国找到合适的工作很困难．波 利亚先在布朗大学任客座教授两年，然后接受了斯坦福大学的聘任． 1942 年 1 月，他的夫人去美国西海岸加利福尼亚的帕洛阿尔托购买了他们的寓 所，开始了他们在美国的定居生活． 1953 年，波利亚从斯坦福大学退职．但他继续从事教学与写作，对教 师的培训工作越来越感兴趣，并在一些师范院校任教他热爱教学工作． 直 至 1978 年 93 岁高龄时，仍亲自讲课除了本文在后面还要详述的几部解题 研究与数学方法论的书以外， 1974 年他与 G． 拉塔(Latta) 合作撰写了 复变量的教科书，与 J． 基尔帕特里克(Kilpatrick)合着《斯坦福数学问 题集》(The stanfordmathematics problem book，1974)． 他还着有《科 学中的数学方法》(Mathematical methods in science，1963)、《组合学 导引的札记》(Notes on introductory combinatorics，1984)等． 波利亚漫长一生的最后几年里视力极度下降，就借助于有放大作用的 阅读机继续坚持阅读并回答别人的问题，甚至还想学习计算器．他不断地 向别人述说：「我的数学兴趣还没有完！」 由于科学上所取得的众多成就，他先后成为法国科学院、美国艺术与 科学研究院、匈牙利科学院、美国科学院的院士以及布鲁塞尔的国际哲学 与科学协会的会员．他还是伦敦数学协会、瑞士数学学会、纽约科学院等 的名誉成员． 为了表彰波利亚的特殊贡献，1963 年美国数学协会(MAA)授予他数学杰 出贡献奖(The award for distinguished serviceto mathematics)．1968 年在美国教育影片图书馆协会(Educa-tional film library association) 举办的第 10 届电影节上，因为用他的讲演制作的影片「让我们教猜想」(Let us teach guessing)而授予他蓝绶最高奖． 为了纪念波利亚，美国工业与应用数学学会设立了组合理论及其应用 的波利亚奖，由美国数学协会提供了大学数学杂志的波利亚写作奖，由美 国数学教师委员会提供了数学竞赛的波利亚奖(1978—1980)． 他曾长期工 作的斯坦福大学命名了一座「波利亚楼」(Polya Hall)，在数学图书馆里 悬挂了他的肖像，这是馆内唯一的科学家肖像．斯坦福大学还出版了他的
论文集.1977年《图论杂志》(Journal of Graph Theory)为庆祝他90寿 辰而专门发行特刊. 数学研究 建树 波利亚的数学研究的最显著特点是他有极为广泛的兴趣，他在概率论 组合数学、图论、几何、代数、数论、函数论、微分方程、数学物理等领 域都有过建树，他撰写（包括与他人合作）的250多篇论文，被收集整理成 四卷本的论文集，由美国麻省理工学院出版社出版（前两卷在1974年出版， 后两卷在1984年出版).当有人问及为什么他对差异如此之大的数学分支 进行研究时，他回答说：「是受了我的老师以及当时的数学风尚的影响， 后来又受到自己发现兴趣的驱使，」 概率论 如前所述，1912年他提交了概率论方面的博土论文，由于当时在布达 佩斯没有人对概率论感兴趣，因此他的这篇论文是在没有得到导师帮助的 情况下写成的.此后，他开始了对概率论的一系列富有成效的研究.早期 工作主要涉及几何概率方面.有人认为，波利亚是第一个在论著中使用「中 心极限定理」这一术语的人，波利亚还进一步研究了概率论中的特征函数， 提出所谓的「波利亚准则」·他的一个典型的例子一一罐子模型(the Polya urn sche-me),即在一个罐子中，放有r个红球和b个黑球，当随机取出 一个球后，就另外取来与其同色的℃个球代替它而放入罐子中，这个模型 经常用来描述蔓延现象，它的一个分支就是所谓的波利亚分布 波利亚对概率论最重要的贡献是他在1921年发表的有关随机游动的论 文.他首创了术语「随机游动」(random walk).所谓随机游动问题指的是， 在一个无穷大平面内，有两组等距离的平行直线，这两组直线互相垂直， 这像一幅规则整齐的城市街道图：所有楼区大小一样，街道交叉成直角.设 有一个人站在街首中的某一个拐角处.他可以有四个不同的走向：东、西， 南、北，选择一个楼区时，仍面临同样的情况，这就是二维的随机游动，而 一维的随机游动是在一条数轴上，一个动点从整数点开始的向前或向后走 动，方动，赌币的两个面中的哪一个面向上相当于点的向前或向后，因而 决定了睹博的高或输 一般地，考虑用互相正交的直线将d维格点(d个坐 标都是整数的d维空间的点)连结起来，构成d维格网，在每一个格点上都 有d条直线相交，因而有2d个方向可供选择，选择每一方向的概率是1/ 2d.在1921年的论文中，他证明了一个引人注意的定理：在一维与二维格 网中，只要次数足够大，任意游动的点必定返回到它的起始点：但在更高
论文集． 1977 年《图论杂志》(Journal of Graph Theory)为庆祝他 90 寿 辰而专门发行特刊. 数学研究 建 树 波利亚的数学研究的最显著特点是他有极为广泛的兴趣，他在概率论、 组合数学、图论、几何、代数、数论、函数论、微分方程、数学物理等领 域都有过建树．他撰写(包括与他人合作)的 250 多篇论文，被收集整理成 四卷本的论文集，由美国麻省理工学院出版社出版(前两卷在 1974 年出版， 后两卷在 1984 年出版)． 当有人问及为什么他对差异如此之大的数学分支 进行研究时，他回答说：「是受了我的老师以及当时的数学风尚的影响， 后来又受到自己发现兴趣的驱使．」 概 率论 如前所述，1912 年他提交了概率论方面的博士论文，由于当时在布达 佩斯没有人对概率论感兴趣，因此他的这篇论文是在没有得到导师帮助的 情况下写成的．此后，他开始了对概率论的一系列富有成效的研究．早期 工作主要涉及几何概率方面． 有人认为，波利亚是第一个在论著中使用「中 心极限定理」这一术语的人．波利亚还进一步研究了概率论中的特征函数， 提出所谓的「波利亚准则」．他的一个典型的例子——罐子模型(the Polya urn sche-me)，即在一个罐子中，放有 r 个红球和 b 个黑球，当随机取出 一个球后，就另外取来与其同色的 c 个球代替它而放入罐子中．这个模型 经常用来描述蔓延现象，它的一个分支就是所谓的波利亚分布． 波利亚对概率论最重要的贡献是他在 1921 年发表的有关随机游动的论 文．他首创了术语「随机游动」(random walk)．所谓随机游动问题指的是， 在一个无穷大平面内，有两组等距离的平行直线，这两组直线互相垂直， 这像一幅规则整齐的城市街道图：所有楼区大小一样，街道交叉成直角．设 有一个人站在街道中的某一个拐角处． 他可以有四个不同的走向：东、西、 南、北． 选择一个楼区时，仍面临同样的情况，这就是二维的随机游动．而 一维的随机游动是在一条数轴上，一个动点从整数点开始的向前或向后走 动，方动，赌币的两个面中的哪一个面向上相当于点的向前或向后，因而 决定了赌博的赢或输． 一般地，考虑用互相正交的直线将 d 维格点(d 个坐 标都是整数的 d 维空间的点)连结起来，构成 d 维格网，在每一个格点上都 有 d 条直线相交，因而有 2d 个方向可供选择，选择每一方向的概率是 1／ 2d．在 1921 年的论文中，他证明了一个引人注意的定理：在一维与二维格 网中，只要次数足够大，任意游动的点必定返回到它的起始点；但在更高
维的格网中，这并不是必然发生的.波利亚曾将二维随机游动的这一结论 形象地说成：「平面上的道路条条通罗马！」1964年在纽约世界博览会上， 国际商用机器公司(IBM)在它的展览厅内当众演示了随机游动 函数论 虽然波利亚在概率论方面的成就是引人注目的，但他的最深奥、最艰 难的工作要算复变函数论了·特别是全平面内没有奇点的单值整函数的研 究.在这个领域中所使用的术语，例如「波利亚峰」 「波利亚表示」和 「波被利亚间隙定理」就表明了被利亚在这一领域中所做出的贡献 1914年他和德国犹太数学家.舒迩(Schur)合作引进了波利亚-舒尔 函数，包括J.舍恩伯格(Schoenberg)样条函数逼近工作.l957年，波利 亚与舍恩伯格提出了一个有关幂级数的猜想：能够将单位圆映入凸区域的 两个幂级数的阿达马积，仍是一个具有同样性质的幂级数.这就是著名的 波利亚-舍恩伯格猜想.经过一些数学家的不懈努力，15年后，在1973年 由德国维尔茨堡的S.路什科威(Ruscheweyh)和英国约克的T.小希尔 (Shei1-smal1)合作下最后获得证明.舍恩伯格在1947年解决了一个矩问 题，它与波利亚在1915年的一篇论文有关，为此舍恩伯格引进了一些频率 函数，并称之为波利亚频率函数 波利亚在函数论方面最重要的工作是有关函数零点的结果，它与著名 的黎曼猜想密切相关.I919年的论文「数论的种种评论」(Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheone))提出了一个猜想，被称为波利亚猜想，即： 「对每个x>1,在不超过x的正整数中，含有奇数个素数因子（不一定是不 同的)的整数个数不少于含有偶数个素数因子的整数个数，」在很长时期里， 人们都认为波利亚猜想是正确的.直到1958年，C.B.B.哈兹尔格罗 夫(Haselgrove)从理论上证明了存在着无穷多个反例，1962年 R.S.S.莱曼(Lehman)找到了一个具体反例：906180359，从而推翻 了波利亚猜想.发表于1926年的波利亚的另一篇论文「关于黎曼函数 的积分表示的评论」(Bemerkung ber die Integraldarstellung derRiemannschen-Funktion)明显地涉及了黎曼猜想，虽然失败了，但 却导致了统计方法的重大进展， 组合数学 1935年，波利亚对化学中同分异构体进行了研究，表现了他对对称性 的极大兴趣.自从19世纪初发现了同分异构体后，关于同分异构体的计数 问题长期得不到解决.直到1874年，同时出现了三篇有关的论文，其一 是德国籍化学家.孔那(Korner)的，讨论苯的取代物的同分异构体：其 二是荷兰化学家J.H.H.范霍夫(Wan'thoff)的，讨论有机化合物的同
维的格网中，这并不是必然发生的．波利亚曾将二维随机游动的这一结论 形象地说成：「平面上的道路条条通罗马！」1964 年在纽约世界博览会上， 国际商用机器公司(IBM)在它的展览厅内当众演示了随机游动． 函 数论 虽然波利亚在概率论方面的成就是引人注目的，但他的最深奥、最艰 难的工作要算复变函数论了．特别是全平面内没有奇点的单值整函数的研 究．在这个领域中所使用的术语，例如「波利亚峰」、「波利亚表示」和 「波利亚间隙定理」就表明了波利亚在这一领域中所做出的贡献． 1914 年他和德国犹太数学家 I．舒尔(Schur)合作引进了波利亚-舒尔 函数，包括 J．舍恩伯格(Schoenberg)样条函数逼近工作． 1957 年，波利 亚与舍恩伯格提出了一个有关幂级数的猜想：能够将单位圆映入凸区域的 两个幂级数的阿达马积，仍是一个具有同样性质的幂级数．这就是著名的 波利亚-舍恩伯格猜想．经过一些数学家的不懈努力，15 年后，在 1973 年 由德国维尔茨堡的 S．路什科威(Ruscheweyh)和英国约克的 T．小希尔 (Sheil-small)合作下最后获得证明．舍恩伯格在 1947 年解决了一个矩问 题，它与波利亚在 1915 年的一篇论文有关，为此舍恩伯格引进了一些频率 函数，并称之为波利亚频率函数． 波利亚在函数论方面最重要的工作是有关函数零点的结果，它与著名 的黎曼猜想密切相关．1919 年的论文「数论的种种评论」(Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheone)提出了一个猜想，被称为波利亚猜想，即： 「对每个 x＞1，在不超过 x 的正整数中，含有奇数个素数因子(不一定是不 同的)的整数个数不少于含有偶数个素数因子的整数个数．」在很长时期里， 人们都认为波利亚猜想是正确的．直到 1958 年，C． B． B． 哈兹尔格罗 夫(Haselgrove)从理论上证明了存在着无穷多个反例， 1962 年 R． S． S． 莱曼(Lehman)找到了一个具体反例：906 180 359，从而推翻 了波利亚猜想．发表于 1926 年的波利亚的另一篇论文「关于黎曼 ξ 函数 的积分表示的评论」(Bemerkung ber die Integraldarstellung derRiemannschen ξ-Funktion)明显地涉及了黎曼猜想，虽然失败了，但 却导致了统计方法的重大进展． 组 合数学 1935 年，波利亚对化学中同分异构体进行了研究，表现了他对对称性 的极大兴趣．自从 19 世纪初发现了同分异构体后，关于同分异构体的计数 问题长期得不到解决． 直到 1874 年，同时出现了三篇有关的论文，其一 是德国籍化学家 W． 孔那(Korner)的，讨论苯的取代物的同分异构体；其 二是荷兰化学家 J． H． H． 范霍夫(Van'thoff)的，讨论有机化合物的同