而不是将数学成为供奉于殿堂之上、脱离现实而保持其神圣不对侵犯的演绎体 系形式，这是完全不符合当前社会的迫切需要的。 3。数学作为思维的训练 自古 以来就将数学作为“智力的磨刀石 ,认为对所有的人而言，数学 都是一种不可缺少的思维训练，甚至还强调数学可以训练人们的逻辑思维。从 18世纪拿破仑的军事胜利，到20世纪苏联的卫星上天，似乎都证明了这个结论。 严格说来，究竞什么是逻辑思维？是否存在思维的训练？数学又是否是其 中的一种？甚至是最好的 一种？这些都是很难回答的问题。因为无人能证明， 个好的数学家在其他科学领域中 也必然会 很 高的成就 也 知道数学天才是 否是一般天才所必须具备的特征；同样也无法使人相信，数学家的超人智力完 全是由数学所决定的，因为谁也不知道，如果数学家不学数学而去学其他东西， 又会有什么样的结果。 弗赖登塔尔多次给大学数学、物理系一、二年级的学生以及中学生提出 以下问题： (1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同 个人？ (2)诗人中最老的画家与画家中最老的诗人，是否同一个人 (3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一个诗人，他们是否同 一个人？ (4④)二个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子，对任意=1,2,3， 下列断言成立 如果 座房子中有n条腿的桌子 那里就没有多于n条腿的桌 子.问以下命题是否成立？对n=1,2,3“,如果一座房子中有n条腿的桌子， 那里就没有少于n条腿的桌子 (⑤)一个篮子里有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮子里是否 定有两件物体，它们的颜色和形状都不相同？ 试验结果的事实证明， 受过数学教育以后， 对上述问题的看法、理解与 回答，都有很大长进，可见，数学教育与逻辑思维还是有着一定的联系。问题 在于，如何找出它们之间的本质联系以及内在规律，这也许需要从心理学、认 识论的角度，对此作更进一步的探讨。 4.数学作为筛选的工具 长久以夹 在各种领域内，都将数学作为一种选择方法 不仅是科学 技术、 医学的学生，要通过这个考验，甚至对大多数人文学科的学生，也有 定的数学要求；于是数学教育的目的，就是在数学教学的基础上挑选学生，因 为人们认为数学适宜于作为一种方法，以测定学生的智力与才能，它比其他学 科，甚至比智力测验更可信，更容易使用。 同样的问存在着。每个新部坚信，准的新学学得，那他在其他绿 域中通常也学得好；事实是谁也不知道， 如果他 未学过数学 是否其他领域 就一定学不好。这和前面提到的数学作为思维的训练，遇到了同样的困难。 特别成问题的是，这种筛选工具的作用，进一步又发展成为数学教育的 目的似乎就是为了考试，还不仅是数学，其他科目也处在同样的危险之中，那 就是为了考试而教学。社会本有各种不同的需要， 也有名种不同的层次 们 必须通过形形色色的入场考试，即使社 但社会总是要 的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工， 因此筛选工具是必须的，考 也是必要的，但如果说学生学习只是为了一 个分数，而教师的职责也只是在给 分宽严之间进行一个最佳选择，那就与数学教育的目的相距太远了
而不是将数学成为供奉于殿堂之上、脱离现实而保持其神圣不对侵犯的演绎体 系形式，这是完全不符合当前社会的迫切需要的。 3．数学作为思维的训练 自古以来就将数学作为“智力的磨刀石”，认为对所有的人而言，数学 都是一种不可缺少的思维训练，甚至还强调数学可以训练人们的逻辑思维。从 18 世纪拿破仑的军事胜利，到 20 世纪苏联的卫星上天，似乎都证明了这个结论。 严格说来，究竟什么是逻辑思维?是否存在思维的训练?数学又是否是其 中的一种?甚至是最好的一种?这些都是很难回答的问题。因为无人能证明，一 个好的数学家在其他科学领域中也必然会有很高的成就，也不知道数学天才是 否是一般天才所必须具备的特征；同样也无法使人相信，数学家的超人智力完 全是由数学所决定的，因为谁也不知道，如果数学家不学数学而去学其他东西， 又会有什么样的结果。 弗赖登塔尔多次给大学数学、物理系一、二年级的学生以及中学生提出 以下问题： (1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同一个人? (2)诗人中最老的画家与画家中最老的诗人，是否同一个人? (3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一个诗人，他们是否同 一个人? (4)二个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子，对任意 n＝1，2，3，.， 下列断言成立：如果一座房子中有 n 条腿的桌子，那里就没有多于 n 条腿的桌 子．问以下命题是否成立?对 n＝l，2，3.，如果一座房子中有 n 条腿的桌子， 那里就没有少于 n 条腿的桌子． (5)一个篮子里有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮子里是否一 定有两件物体，它们的颜色和形状都不相同? 试验结果的事实证明，受过数学教育以后，对上述问题的看法、理解与 回答，都有很大长进，可见，数学教育与逻辑思维还是有着一定的联系。问题 在于，如何找出它们之间的本质联系以及内在规律，这也许需要从心理学、认 识论的角度，对此作更进一步的探讨。 4．数学作为筛选的工具 长久以来，在各种领域内，都将数学作为一种选择方法，不仅是科学、 技术、医学的学生，要通过这个考验，甚至对大多数人文学科的学生，也有一 定的数学要求；于是数学教育的目的，就是在数学教学的基础上挑选学生，因 为人们认为数学适宜于作为一种方法，以测定学生的智力与才能，它比其他学 科，甚至比智力测验更可信，更容易使用。 同样的问题存在着。每个教师都坚信：谁的数学学得好，那他在其他领 域中通常也学得好；事实是谁也不知道，如果他从未学过数学，是否其他领域 就一定学不好。这和前面提到的数学作为思维的训练，遇到了同样的困难。 特别成问题的是，这种筛选工具的作用，进一步又发展成为数学教育的 目的似乎就是为了考试，还不仅是数学，其他科目也处在同样的危险之中，那 就是为了考试而教学。社会本有各种不同的需要，也有各种不同的层次，人们 必须通过形形色色的入场考试，即使社会差异会逐渐消失，但社会总是要对它 的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工，因此筛选工具是必须的，考试 也是必要的，但如果说学生学习只是为了一个分数，而教师的职责也只是在给 分宽严之间进行一个最佳选择，那就与数学教育的目的相距太远了
5。培养解快问题的能力 人们往往时数学给以高麻平价。因为它可以解独许多问题。从口营生证 中常常遇见的数值计算， 油越的魔朵与我 直到高精尖的领域 从计 算机直到火箭发射，都可以发挥与施展数学的魔力，因而使人对数学产生了极 高的信念。数学可以训练语言的表达，以最精确、简洁的语言来描述现象，数 学可以使问题简化，又能将问题推广，使之一般化，这样数学就从多个侧面， 给人们提供了解决各种问题的手段、背景，以至思维的方法，这就为综合地分 析各种因素， 顺利地解决各种实际问题，创造了条件 了能 当然需要考虑数学教育究竟能够培养哪些能力， 人们解决问题所需要的 不仅是单纯的数学知识，也许更重要的是人们的思想方法，分析、综合、推理 否定以及演绎、归纳、类比等等，似乎都与数学有着天然紧密的联系，数学究竞 能否在这些方法上起巨大的影响？另一方面，问题有着多方面背景，包括各种所 谓非智力因素，数学教育能否在这些方面，提供综合的帮助，而使学生确实通过 数学的 色墙在 决 问题的能力这方面获得培 提高 根据以上的探讨，结合我国的实际情况，这几个方面的目的都有它的道 理，也应该作为我国数学教育的目的，只是随着义务制教育的普及，根据各个 不同的年龄阶段，是否可以在各个方面，有不同的侧重点，譬如对义务教育制 来说，应该特别强调实际应用，因为那是全社会公民必备的训练，社会价值需 突出对于高中准备继续升入大学的， 应该加强一些对数学整个体系的要求 在知识的逻辑结构、演绎推理方面适当加强：关于思维训练及解决问题的能) 这两方面，必须作深入探讨，掌握其确切规律，才能做到这些：至于数学作为 筛选工具的这一职能，不应放在过高的地位，为了考试而学数学，那就违背数 学教育的本意了。 第三节 关于数学教学原则的设想 弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性， 特别是数学的 严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、 更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实 一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法 弗赖登塔尔认为，人类历史必然是 前进的 历史，只有突破了、对传 统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是 教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的：因而学校的教学必须由被 动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来 主动获取知识。 这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会 ,让他们充满信心，在 自身活动的过程中，继承传 ,学习科学， 由于社会 不断前进，人们就必须不断学习。因此，教育中更重要的 “个问题，并不是教 的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法， 那是更根本的东西 根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了下列儿个数学教学 的原则 1, “数学现实”原则
5．培养解决问题的能力 人们往往对数学给以高度评价，因为它可以解决许多问题，从日常生活 中常常遇见的数值计算，各种神秘的魔术与游戏，一直到高精尖的领域，从计 算机直到火箭发射，都可以发挥与施展数学的魔力，因而使人对数学产生了极 高的信念。数学可以训练语言的表达，以最精确、简洁的语言来描述现象，数 学可以使问题简化，又能将问题推广，使之一般化，这样数学就从多个侧面， 给人们提供了解决各种问题的手段、背景，以至思维的方法，这就为综合地分 析各种因素，顺利地解决各种实际问题，创造了条件，培养了能力。 当然需要考虑数学教育究竟能够培养哪些能力，人们解决问题所需要的 不仅是单纯的数学知识，也许更重要的是人们的思想方法，分析、综合、推理、 否定以及演绎、归纳、类比等等，似乎都与数学有着天然紧密的联系,数学究竟 能否在这些方法上起巨大的影响?另一方面,问题有着多方面背景,包括各种所 谓非智力因素,数学教育能否在这些方面,提供综合的帮助,而使学生确实通过 数学的学习,能够在解决问题的能力这方面获得培养与提高。 根据以上的探讨，结合我国的实际情况，这几个方面的目的都有它的道 理，也应该作为我国数学教育的目的，只是随着义务制教育的普及，根据各个 不同的年龄阶段，是否可以在各个方面，有不同的侧重点，譬如对义务教育制 来说，应该特别强调实际应用，因为那是全社会公民必备的训练，社会价值需 突出；对于高中准备继续升入大学的，应该加强一些对数学整个体系的要求， 在知识的逻辑结构、演绎推理方面适当加强；关于思维训练及解决问题的能力 这两方面，必须作深入探讨，掌握其确切规律，才能做到这些；至于数学作为 筛选工具的这一职能，不应放在过高的地位，为了考试而学数学，那就违背数 学教育的本意了。 第三节 关于数学教学原则的设想 弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性，特别是数学的 严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、 更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实 现一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法。 弗赖登塔尔认为，人类历史必然是一个前进的历史，只有突破了、对传 统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是一种活动，科学不是 教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的；因而学校的教学必须由被 动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来 主动获取知识。 这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会，让他们充满信心，在 自身活动的过程中，继承传统，学习科学，获得知识；另一方面，由于社会在 不断前进，人们就必须不断学习。因此，教育中更重要的一个问题，并不是教 的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法， 那是更根本的东西。 根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了下列几个数学教学 的原则： 1．“数学现实”原则