HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例如:令=06为参数;螺旋 线的参数方程为 x= acos y=asin e z=be h oM 这里b tt 当从0变到O0+a是,由b00变到bO0+ba, 即M点上升的高度与OM转过的角度成正比 特别,当a=2x时,M点上升高度h=2b 在工程上称h=2πb为螺距 AO 高等粤
y x z A OM t M 例如: 令 = t. 为参数; 螺旋 线的参数方程为: x = acos y = asin z = b . v 这里b = 当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b , 即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比. 特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b, h 在工程上称 h = 2 b为螺距
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 3.空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 F(x,y,z)=0 G(x,y,2)=0 由方程组(4)消去z后得方程H(x,y)=0(5) 方程(5)表示一个母线平行于z轴的柱面 曲线C一定在柱面上 空间曲线C在xOy面上的 投影曲线必定包含于 H(x2y)=0 ∠ AO 高等粤
3. 空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 (4) 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在柱面上. x y z oo C 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z = 0
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注:同理可得曲线在yO面或O面上的 投影曲线方程 AO 高等粤
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的 投影曲线方程
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例7:已知两个球面的方程分别为 x2+y2+ 和x2+(y-1)2+ 求它们的交线C在xO面上的投影曲线的方程 解:联立两个方程消去z,得 椭圆柱面 2x2+4(y-) 两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为 2x2+4(y 0 AO 高等粤
例7: 已知两个球面的方程分别为: x 2 + y 2 + z 2 = 1 和 x 2 + (y −1)2 + (z−1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程. 解: 联立两个方程消去 z ,得 = + − = 0 ) 1 2 1 2 4( 2 2 z x y ) 1 2 1 2 4( 2 2 x + y − = 两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为 椭圆柱面
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例8:设一个立体由上半球面z=√4-x2-y2和锥面 z=√3(x2+y2)所围成,求它在xoy面上的投影 解:半球面与锥面的交线为 4-x C =、3(x2+y 由方程消去z,得x2+y2=1(圆柱面) x2+y2≤1 于是交线C在xoy面上的投影曲线为 这是xoy面上的一个圆 =0 所以,所求立体在xo面上的投影为:x2+y2≤1 AO 高等粤
设一个立体由上半球面 和锥面 2 2 z = 4 − x − y 3( ) 2 2 z = x + y 所围成, 求它在xoy面上的投影. 解: 半球面与锥面的交线为 = + = − − 3( ) 4 : 2 2 2 2 z x y z x y C 由方程消去 z , 得 x 2 + y 2 =1 y x z O x 2 + y 2 1 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x 2 + y 2 = 1 z = 0 这是xoy面上的一个圆. 所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x 2 + y 2 1 例8: (圆柱面)