定理14.11设f在点x具有任意阶导数，那么f在 区间(x。-r,飞+)上等于它的泰勒级数的和函数的 充分条件是：对一切满足不等式x-飞Kr的x,有 lim R,(x)=0, n→00 这里R(x)是f在点x,泰勒公式的余项！ 本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出. 如果f能在点x的某邻域上等于其泰勒级数的和函 数，则称函数f在点x的这一邻域内可以展开成泰 勒级数，并称等式 前 后页 返回
前页 后页 返回 定理14.11 设 f 在点 0 x 具有任意阶导数, 那么 f 在 区间 0 0 ( , ) x r x r 上等于它的泰勒级数的和函数的 0 充分条件是: 对一切满足不等式 | | x x r 的 x , 有 lim ( ) 0, n n R x ( ) R x n 0 这里 是f 在点 x 泰勒公式的余项. 本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出. 如果 f 能在点 0 x 的某邻域上等于其泰勒级数的和函 数, 则称函数 f 在点 0 x 的这一邻域内可以展开成泰 勒级数, 并称等式
x)=f)+(x-x)+(x-x+ 2 +fmx-+ (4) n! 的右边为f在x=x处的泰勒展开式，或幂级数展 开式 由级数的逐项求导性质可得： 若∫为幂级数∑4nx"在收敛区间(-R,R)上的和函 =0 数，则∑anx”就是∫在(-R,R)上的泰勒展开式， 前页 返
前页 后页 返回 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x f x x x x x 的右边为 f 在 0 x x 处的泰勒展开式, 或幂级数展 开式. 由级数的逐项求导性质可得: 0 n n n a x 若 f 为幂级数 在收敛区间 ( , ) R R 上的和函 0 n n n a x 数, 则 就是 f 在 ( , ) R R 上的泰勒展开式, ( ) 0 0 ( )( ) (4) ! n n f x x x n
即幂级数展开式是惟一的. 在实际应用上，主要讨论函数在x=0处的展开式， 这时(3)式就变成 f0+f0x+f0x2++0x+ 1! 21 n! 称为麦克劳林级数. 从定理14.11知道，余项对确定函数能否展开为幂级 数是极为重要的，下面我们重新写出当x。=0时的 前顶 返回
前页 后页 返回 即幂级数展开式是惟一的. 在实际应用上, 主要讨论函数在 0 x 0 处的展开式, 这时(3)式就变成 ( ) 2 (0) (0) (0) (0) , 1! 2! ! n n f f f f x x x n 称为麦克劳林级数. 从定理14.11知道, 余项对确定函数能否展开为幂级 数是极为重要的, 下面我们重新写出当 0 x 0 时的
积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项，以便 于后面的讨论.它们分别是 R倒=foe-ra, R(wm5x,5在0与之间 R,()=fa(6x1-rx,0≤0≤1. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项, 以便 于后面的讨论. 它们分别是 ( 1) 0 1 ( ) ( )( ) d , ! x n n R x f t x t t n n 1 ( 1) 1 ( ) ( ) , 0 , ( 1)! n n R x f x x n n 在 与 之间 1 ( 1) 1 ( ) ( )(1 ) ,0 1. ! n n n R x f x x n n
二、初等函数的幂级数展开式 例2求k次多项式函数 f()=C+Cx+C2x2+.+Cx4 的幂级数展开式. 解由于 0)- n!cn,n≤k, 总有imRn(x)=0,因而 前页 后页 返回
前页 后页 返回 二、初等函数的幂级数展开式 例2 求k次多项式函数 2 0 1 2 ( ) k k f x c c x c x c x 的幂级数展开式. 解 由于 ( ) ! , , (0) 0, , n n c n k n f n k lim ( ) 0, n n R x 总有 因而