电子科技大学：《数理方程与特殊函数》习题课

二阶线性方程分类: △=a 12 au,d ()△>0双曲型 (2)Δ=0抛物型 3)△<0 椭圆型 说明:分类也指点的邻域内的分类!

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 二阶线性方程分类： 2 12 11 22  = − a a a (1)   0 双曲型  = 0 抛物型   0 椭圆型 (2) (3) 说明：分类也指点的邻域内的分类！

例1求方程vn-a2mx=0的通解 解:此方程是双曲型的第二标准形,但我们要求 解它可将其化成第一标准形的形式,所以先得由 特征方程求特征函数: 0

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 例1 求方程 0 的通解 2 utt − a uxx = 解：此方程是双曲型的第二标准形，但我们要求 解它可将其化成第一标准形的形式，所以先得由 特征方程求特征函数： 0 2 2  − =      a dt dx a dt dx = 

-x+at In=x-at 所以 1 1 12 11 12 21 22 21 22 O O

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.50 0.51 n 13  = − = + x at x at  11 x y x y a Q a         = =         − 所以 11 12 11 12 21 22 21 22 a a a a Q Q T a a a a         =     2 1 1 0 1 0 1 1 a a a a a       − =             − −

O a 1o - O 2a 20 b=L5-c5=0 h2=L-Cm=0,C=f=0

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 14 2 1 1 0 1 0 1 1 a a a a a       − =             − − 2 2 0 2 2 0 a a   − =     − 1 b L c = − =   0 2 b L c c f = − = = =   0, 0

可得lan=0 l2=g1(4) =Jg(4)d+2(n) f1()+f2() ∥/=(x+a)+f(x-a)是原方程的通解

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 15 可得 = 0  u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 u g u g d f f f        = = + = +  u = f 1 (x + at)+ f 2 (x − at) 是原方程的通解