数理方程与特殊函教 假髁教师:杨春 Email:yc517922@126.com 液用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 贝塞尔函数及其性质 (一)、贝塞尔方程 (二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数 (三)、贝塞尔函数的母函数及递推公式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 贝塞尔函数及其性质 (一)、贝塞尔方程 (二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数 (三)、贝塞尔函数的母函数及递推公式
(一)、贝塞尔方程 例设有半径为R的薄圆盘,其侧面绝缘,若圆盘边界上的 温度恒保持为零度,且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温 度分布规律 定解问题为: ou=a、Ox (x2+y2<R t 1=0=卯(x,y 0 采用分离变量法求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 例 设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的 温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温 度分布规律 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 , , 0 t x y R u u u a x y R t x y u x y u = + = = + + = = (一)、贝塞尔方程 定解问题为： 采用分离变量法求解
(1)、时空变量分离 令:v(x,y,1)=V(x,y)7(t) 得:7()+a27()=0…() a2v aV +2+=0…(2 ax a 对(2),采用极坐标并考虑边界条件得 a2v 1 av 1 a2V +=0,(p<R dp pap p08 =P=0 (2)、空间变量分离
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 u(x, y,t) = V(x, y)T(t) 2 T t a T t ( ) ( ) 0 (1) + = (1)、时空变量分离 令： 得： 2 2 2 2 0 (2) V V V x y + + = (2)、空间变量分离 对(2)，采用极坐标并考虑边界条件得： 2 2 2 2 2 1 1 0,( ) (3) 0 R V V V V R V = + + + = =
(P,0)=P(p)⊙(e 得"()+1⊙()=0…(4) pP(p)+pP(p)+(42-)P(P)=0…(5) (3)、求固有值问题 ∫e"(O)+(O)=0 Q()=(2x+) 固有值为: ,(n=0,1,2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 V(, ) = P()( ) 2 2 P P P ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (5) + + − = 令： 得： + = ( ) ( ) 0 (4) (3)、求固有值问题 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 + = = + 固有值为： 2 ,( 0,1,2.....) n = = n n