数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 无界域上二维波动方程求解 ()、二维波动方程柯西问题的降维法 (二)、行波法求解定解问题应用举例
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、二维波动方程柯西问题的降维法 (二)、行波法求解定解问题应用举例 无界域上二维波动方程求解
()、二维波动方程柯西问题的降维法 二维空间的自由振动的波动方程定解问题为 u (-∞<x,y<+∞,t>0 aX 4-0=0(x,y) Or liso=y(x, y) 求解方法:把二维看成三维的特殊情形,即把二维 情形的方程、初始条件和波函数看成与Z无关的三维 问题进行处理,从三维泊松公式出发,利用曲面积 分计算,得到二维问题的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 , , , 0 ( , ) ( , ) t t u u u a x y t t x y u x y u x y t = = = + − + = = 二维空间的自由振动的波动方程定解问题为： 求解方法：把二维看成三维的特殊情形，即把二维 情形的方程、初始条件和波函数看成与z无关的三维 问题进行处理，从三维泊松公式出发，利用曲面积 分计算，得到二维问题的解。 (一)、二维波动方程柯西问题的降维法
ds do 球面S的方程为: 5=z+√a2-(5-x)2-(-y
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 球面S的方程为： x dS θ at M dσ y z 2 2 2 2 = − − − − z a t x y ( ) ( )
do=ds cos e dsVa2t2-(2-x)2-(5-y)2 t 所以 at ds= O a2t2-(-x)2-(2-y) 所以U(M)化为圆域上二重积分的二倍,于是得到 二维无界域上自由振动的波动方程的解为
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 所以 d dS = cos 所以U(M,t)化为圆域上二重积分的二倍，于是得到 二维无界域上自由振动的波动方程的解为： 2 2 2 2 a t x y ( ) ( ) dS at − − − − = 2 2 2 2 ( ) ( ) at dS d a t x y = − − − −