电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第三章 分离变量法（3.1）高维定解问题分离变量求解

数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院

本次课主要内容 高维定解问题分离变量求解 )、二维圆域定解问题分离变量求解 (二)、高维混合问题分离变量求解

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 高维定解问题分离变量求解 本次课主要内容 (一)、二维圆域定解问题分离变量求解 (二)、高维混合问题分离变量求解

()、二维圆域定解问题分离变量求解 主要讨论圆域内拉普拉斯方程求解 一个半径为po的薄圆盘,上下两面绝热,圆周边 缘温度分布为已知,求达到稳恒状态时圆盘内的温度 分布。 分析:(1)这是一个稳态问题,所以温度分布满足拉普 拉斯方程 △,14=A2Oy a210.(x2+y

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 一个半径为ρ0 的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边 缘温度分布为已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度 分布。 (一)、二维圆域定解问题分离变量求解 主要讨论圆域内拉普拉斯方程求解 分析:(1)这是一个稳态问题，所以温度分布满足拉普 拉斯方程： 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0,( ) u u u x y x y     = + = +   

边界条件为: 2=f(,y 引进极坐标变换: x= pcos (0≤p<+∞,0≤≤2m) V=sine 方程与边界条件变换为 1 ou O…(1 P=Po f(O)…(2)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 边界条件为： 0 2 2 2 1 1 ( ) 0 (1) ( ) (2) u u u f         =       + =      =  2 2 2 0 ( , ) x y u f x y + = = 引进极坐标变换： cos ,(0 ,0 2 ) sin x y         =    +    = 方程与边界条件变换为：

(2)圆盘中心温度有限,于是有: (0,0)<+∞…(3) (3)(p,0)与(p,0+2m)是圆盘上同一点,于是有: (,b)=u(0,6+2)…(4) 解:定解问题为: △ul= ou、1u=0,(p<P)…(1) 尸Cp (P ap p-80 l(020)=f(()……(2) (O,6)=l(0,6+2x)…(3) (O,O)<+∞…(4)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 (2) 圆盘中心温度有限，于是有： u(0, ) (3)   + (3) (ρ,θ)与(ρ,θ+2π)是圆盘上同一点，于是有： u u ( , ) ( , 2 ) (4)      = + 解：定解问题为： 2 2 2 0 0 1 1 ( ) 0,( ) (1) ( , ) ( ) (2) ( , ) ( , 2 ) (3) (0, ) (4) u u u u f u u u                       = + =         =  = +    +