数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 傅立叶变换的应用 )、常微分方程求解 (二)、积分方程求解 (三)、求解偏微分方程定解问题
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、常微分方程求解 (二)、积分方程求解 (三)、求解偏微分方程定解问题 傅立叶变换的应用
傅立叶变换的应用 应用范围: (1)求解无界区域的定解问题,直接傅氏求解; 2)对于半无界区域的定解问题: a.第一类边界条件,采用傅里叶正弦变换 b第二类边界条件,傅里叶余弦变换 c将边界条件齐次化后,采用延拓法,最后用傅里叶变换 法求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 c.将边界条件齐次化后，采用延拓法，最后 用傅里叶变换 法求解. 傅立叶变换的应用 应用范围: (1) 求解无界区域的定解问题, 直接傅氏求解; (2) 对于半无界区域的定解问题: a. 第一类边界条件, 采用傅里叶正弦变换; b.第二类边界条件,傅里叶余弦变换
()、常微分方程求解 例1求解量子力学中常遇到的方程 u r)-ru(x )=0 解:(1)将方程作傅立叶变换 F(x)=()F(x)=-2() FIxu(x)=iFL-ixu(x)=i.a ,t(4)=t() 2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 例1 求解量子力学中常遇到的方程 u x xu x ( ) ( ) 0 − = 解：(1) 将方程作傅立叶变换： (一)、常微分方程求解 ( ) 2 2 F u x i F u x u [ ( )] [ ( )] ( ) = = − [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) d F xu x iF ixu x i u iu d = − = =
所以原方程变换为一阶常微分方程: (x)-i2i(x)=0 (2)求出像函数: ()=Ce3 (3)求出原函数: ∞O !(x)= 3 eida 2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 所以原方程变换为一阶常微分方程： 2 u i u ( ) ( ) 0 − = (2) 求出像函数： 2 3 ( ) i u Ce = (3) 求出原函数： 2 3 ( ) 2 i C i x u x e e d + − =