数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 平面特殊区域狄氏格林函数 (一)、上半平面狄氏问题的Gren函数 二)、圆域上狄氏问题的Gre函数 (三)、第一象限上狄氏问题的Gren函数 (四)、上半圆域上狄氏问题格林函数
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 平面特殊区域狄氏格林函数 (一)、上半平面狄氏问题的Green函数 (二)、圆域上狄氏问题的Green函数 (三)、第一象限上狄氏问题的Green函数 (四)、上半圆域上狄氏问题格林函数
(一)、上半平面狄氏问题的Gren函数 AG=-0(x-x,y-y)(y>0 G 0 问题相当于无限长接地导线上方的电势。 y MO 0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、上半平面狄氏问题的Green函数 ( 0 0 ) 0 , ,( 0) y 0 G x x y y y G = = − − − = 问题相当于无限长接地导线上方的电势。 M M0 M1 x y o
分析:问题等价于上半平面M处电量为E0的正点电荷在M 处产生的电势,且在x轴上为0。由镜像法:格林函数 G(M,M等于在(x0,-y0)处置一电量为-c0的点电荷在M处 产生的电势与M处电量为c0的正点电荷在M处产生的电势 的叠加。 所以: G(M, Mo)=Ln 2丌MM0o 2兀 MMI 并且有: aG aG
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 所以： 分析：问题等价于上半平面M0处电量为ε0的正点电荷在M 处产生的电势，且在x轴上为0。由镜像法：格林函数 G(M,M0 )等于在(x0 ,-y0 )处置一电量为- ε0的点电荷在M处 产生的电势与M0处电量为ε0的正点电荷在M处产生的电势 的叠加。 0 1 0 1 1 1 1 ( , ) 2 2 MM MM G M M Ln Ln r r = − 并且有： G G n y = −
L 2r Oy x-xo +(y-yo) Ve Ln-1- x-x0)+(y+y) 丌(x-x)2+y 例1、求上半平面上泊松与拉氏方程狄氏解 解:由公式:(M)=-手∞4-J=(xy 得泊松方程狄氏解为: +∞ (M)=9(x) Gf(x, y)do (x-x0)+y
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 0 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 [ ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) L y G Ln Ln n y x x y y x x y y = = − − − + − − + + 0 2 2 0 0 1 ( ) y x x y = − − + 即： 例1、求上半平面上泊松与拉氏方程狄氏解 解：由公式： 0 ( ) ( , ) L D G u M dS Gf x y d n = − − 得泊松方程狄氏解为： 0 0 2 2 0 0 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) D y u M x dx Gf x y d x x y + − = − − +