数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 狄氏问题格林函数 (-)、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性 (二)、狄氏问题格林函数 1、三维空间中狄氏问题格林函数 2、平面中的三个格林公式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性 狄氏问题格林函数 1、三维空间中狄氏问题格林函数 (二)、狄氏问题格林函数 2、平面中的三个格林公式
()、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性 定理1(唯一性定理)拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的。 证明:设u与u2是定解问题 0,(x,y2)∈V ls=(x,y,=) 的两个解。则有v=u1-u2也为该定解问题的解,于是得到v在S上 恒等于零,即: 2/S 0 S 由调和函数性质知:在Vs上: l=(a1-B2)=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 定理1 (唯一性定理) 拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的。 1 2 v u u S S = − ( ) 0 (一)、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性 证明：设u1与u2是定解问题 0,( , , ) ( , , ) S S u x y z V u x y z = = 的两个解。则有v=u1 -u2也为该定解问题的解，于是得到v在S上 恒等于零，即： 由调和函数性质知：在VS上： 1 2 ( ) 0 V V S S v u u = −
定理2(稳定性定理)拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。 证明:设在边界S上给出两个函数与2,且-f2<8 拉氏方程的狄氏问题对应于f1与2的解设为u1与u2,即: △n1=0,(x,y,z)∈s42=0,(x,y,2)∈Vs Lu,Is=fi 2|S v=l1-12 那么 △v=0,(x,y,2)∈Vs lvIs=f 由调和函数极值原理,v在Ⅴs上的极值只能在S上取得,所以
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 1 1 1 0,( , , ) S S u x y z V u f = = 定理2 (稳定性定理) 拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。 证明：设在边界S上给出两个函数f1与f2 ,且： 1 2 f f − 拉氏方程的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2，即： 2 2 2 0,( , , ) S S u x y z V u f = = 令： 那么： 1 2 v u u = − 1 2 0,( , , ) S S v x y z V v f f = = − 由调和函数极值原理，v在VS上的极值只能在S上取得，所以
122E 即证明了稳定性。 定理3拉氏方程的牛曼问题的解,若不管任意常数的差别, 是唯一的。 证明:设u1与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解,即有: △ 「△ on O 显然,u1-2也为同一拉氏方程牛曼问题的解。 由第一格林公式:
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 − u1 u2 即证明了稳定性。 定理3 拉氏方程的牛曼问题的解，若不管任意常数的差别， 是唯一的。 证明：设u1与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有： = = S n u u 1 1 0 = = S n u u 2 2 0 显然，u1 -u2也为同一拉氏方程牛曼问题的解。 由第一格林公式：