数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 非齐次边界条件定解问题求解 )、边界条件齐次化方法 (二)、分离变量法总结
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 非齐次边界条件定解问题求解 本次课主要内容 (一)、边界条件齐次化方法 (二)、分离变量法总结
)、边界条件齐次化方法 般方法 讨论如下定解问题边界条件齐次化: 02u n2an2+f(x(0<x<,t>0) l=0=(x),2 y(x) at t=0 采用未知函数代换法:(xD)=(x1)+W(x1) 选择适当的W(x,),使关于Ⅴ(x,t)定解问题边界条件是 齐次的
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、边界条件齐次化方法 1、一般方法 = = = = + = = = = = ( ), ( ) ( ), ( ) ( , ),(0 , 0) 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 x t u u x u u t u u t f x t x L t x u a t u t t x x L 讨论如下定解问题边界条件齐次化： 采用未知函数代换法： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是 齐次的
具体过程: (1)、作代换: l(x2,)=V(x,)+W(x,t) (2)、将代换式代入定解问题中得: Vh +w=av+aw+f(x, t), (0<x<L, t>0) + (1)V-2+W|=a W V1+W10=0(x)|=0+10=v(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 具体过程： (1)、作代换： (2)、将代换式代入定解问题中得： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 2 2 0 0 1 2 0 0 0 0 ( , ),(0 , 0) ( ), ( ) ( ), ( ) tt tt xx xx x x x L x L t t t t V W a V a W f x t x L t V W u t V W u t V W V W x x t t = = = = = = = = + = + + + = + = + = + =
3)、选择W(x,t),使关于(x,t)定解问题边界条件齐次! 由(2)、只要W(x,t)满足如下条件即可 W|x0=(O) W(x,t)如何选取? W(x,t的选取方式很多!下面采用多项式函数待定法 选择W(x,t) 令:W(x,1)=4(1)x+B(1) 由可得:4(0)=[2(0)-u1()小B(0)=1
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 (3)、选择W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件齐次！ 由(2)、只要W(x,t)满足如下条件即可： 0 1 2 W u t W u t x x L = = = = ( ), ( ) * W(x,t)如何选取？ W(x,t)的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法 选择W(x,t) 令： W (x,t) = A(t)x + B(t) 由*可得： ( ) ( ), ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 1 u t u t B t u t L A t = − =