附注：稳定性定义的进一步探讨 ●运用Lyapunov稳定性研究特定轨道的稳定性时，通常是经 过变换将其转化为新方程的平衡点来研究. ·渐近稳定性定义中稳定的假设不能去掉.例如单位圆周 sl={z=e2v0,0e0,1)h, 上的微分方程 0=sin2(π0)， 有唯一的平衡点0=0. 从S上任一点（θ=0除外）出发的轨道当1→∞时都沿着 圆周逆时针方向趋向于平衡点0，从而满足渐近稳定性定义 中的后半部分条件， 但这些轨道当1→-∞时又都沿着圆周顺时针方向趋向于平 衡点0，因而平衡点是不稳定的. 引导探索：如何判定解的稳定性？ 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念，线性齐次微分方程组零解的稳定性
N5: ½5½¬?ò⁄&? $^ Lyapunov ½5ÔƒA½;½5û, œ~¥² LCÜÚŸ=zè#êß²Ô:5Ôƒ. ÏC½5½¬•½bÿUK. ~X¸† ± S 1 = {z = e 2π √ −1θ , θ ∈ [0,1)}, ˛á©êß θ˙ = sin2 (πθ), kçò²Ô: θ = 0. l S 1 ˛?ò: (θ = 0 ÿ ) —u; t → ∞ û—˜X ±_ûêï™ïu²Ô: 0, l ˜vÏC½5½¬ •å‹©^á, ˘ ; t → −∞ ûq—˜X ±^ûêï™ïu² Ô: 0, œ ²Ô:¥ÿ½. ⁄&¢µX¤½)½5º ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!½Vg!Ç5‡gá©êß|")½5
$5.1.1线性齐次微分方程组零解的稳定性 定理59 设A∈化.对于常系数线性齐次微分方程组 y=Ay. (2) ()如果A的特征值的实部都小于零，则微分方程组(2)的零解 渐近稳定。 (b)如果A的特征值的实部都小于或等于零，且实部为零的特征 值的代数重数等于几何重数，则微分方程组(2)的零 解Lyapunov稳定. (c)如果A有实部大于零的特征值，或有实部为零的特征值且其 代数重数大于几何重数，则微分方程组(2)的零解不稳定 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的情多、线性齐次微分方程组零样的稳定性
$ 5.1.1 Ç5‡gá©êß|")½5 ½n 59 A ∈ M. Èu~XÍÇ5‡gá©êß| y˙ = Ay. (2) (a) XJ A A䢋—u", Ká©êß| (2) ") ÏC½. (b) XJ A A䢋—u½ u", Ö¢‹è"A äìÍÍ uA¤Í, Ká©êß| (2) " ) Lyapunov ½. (c) XJ A k¢‹åu"Aä, ½k¢‹è"AäÖŸ ìÍÍåuA¤Í, Ká©êß| (2) ")ÿ½. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!½Vg!Ç5‡gá©êß|")½5
证：(a)由推论48→存在p>0,a>0使得对v∈R", lleTAvll2≤allvlle-px,x∈O,∞) 而微分方程组(2)的任一解y(x)都可表示成 y(x)=erAv, 的形式.由此可证微分方程组(2)的零解渐近稳定： (b)设A的互不相同的特征值为 ,,k,k+1,, 它们的代数重数为 n,i=1,,S 且 Reλ<0，i=1,,k;Re2=0,i=k+1,,s. 因为入，i=k+1,,s的代数重数等于其几何重数， 所以其对应的线性无关的特征向量有个.。···· 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概老、线性齐次微分方程组零解的稳定性
y: (a) dÌÿ 48 =⇒ 3 ρ > 0, a > 0 ¶È v ∈ R n , ke xA vk2 ≤ akvke −ρx , x ∈ [0,∞). á©êß| (2) ?ò) y(x) —åL´§ y(x) = e xA v, /™. ddåyá©êß| (2) ")ÏC½. (b) A pÿÉ”Aäè λ1,...,λk, λk+1,...,λs , ßÇìÍÍè ni , i = 1,...,s; Ö Reλi < 0, i = 1,..., k; Reλi = 0, i = k +1,...,s. œè λi , i = k +1,...,s ìÍÍ uŸA¤Í, §±ŸÈAÇ5Ã'Aï˛k ni á. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!½Vg!Ç5‡gá©êß|")½5
由定理47及其附注1得，微分方程组(2)有基解矩阵 )=(ep(,e2p…,e2p9…,ep26） 其中 p),j=1,…,k,i=1,,n 是次数不超过m-1的多项式，而 p(e),j=k+1,,s,i=1,,m 是常数向量（对应于入的特征向量）.记 Ψ1(d=（pG)…,ep9x,e2p(x,,e24p)； Ψ2(x)= (ep+,c+p+,,erp9,ep） 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概多、载性齐次微分方程组零解的稳定性
d½n 47 9ŸN5 1 , á©êß| (2)kƒ)› Φ(x) = e λ1xP (1) 1 (x),..., e λ1xP (1) n1 (x),..., e λsxP (s) 1 (x),..., e λsxP (s) ns (x) , Ÿ• P (j) i (x), j = 1,..., k,i = 1,...,nj ¥gÍÿáL nj −1 ıë™, P (j) i (x), j = k +1,...,s,i = 1,...,nj ¥~Íï˛ (ÈAu λj Aï˛). P Ψ1(x) = e λ1xP (1) 1 (x),..., e λ1xP (1) n1 (x),..., e λkxP (k) 1 (x),..., e λkxP (k) nk (x) , Ψ2(x) = e λk+1xP (k+1) 1 ,..., e λk+1xP (k+1) nk+1 ,..., e λsxP (s) 1 ,..., e λsxP (s) ns , ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!½Vg!Ç5‡gá©êß|")½5
由推论48及其证明得，存在p>0,a>0使得对v1∈Rm++, lΨ(x)vil2≤allvi2e-pr,x∈0，∞). 又因为le=1(i=k+1,,s),且 P0(i=k+1,sj=1,,n)是确定的常数向量， 所以存在b>0使得对v2∈R+1++ Ψ2(x)v2ll2≤blv22,x∈0，∞)： 而微分方程组(2)的通解可以写成 y(x)=Φ(x)v=平1(x)v1+平2(xv2, 是任意常数向量.所以 ly(xl2=IΦ(x)vll2≤(allv12epx+bllv1ll2)≤(a+b)vll2,x∈0，∞). 由此可证微分方程组(2)的零解是Lyaponov稳定， 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程组爱解的稳定性
dÌÿ 48 9Ÿy², 3 ρ > 0, a > 0 ¶È ∀v1 ∈ R n1+...+nk , kΨ1(x)v1k2 ≤ akv1k2e −ρx , x ∈ [0,∞). qœè |e λix | = 1 (i = k +1,...,s), Ö P (i) j (i = k +1,...,s,j = 1,...,ni) ¥(½~Íï˛, §±3 b > 0 ¶È ∀v2 ∈ R nk+1+...+ns , kΨ2(x)v2k2 ≤ bkv2k2, x ∈ [0,∞). á©êß| (2)œ)屧 y(x) = Φ(x)v = Ψ1(x)v1 +Ψ2(x)v2, Ÿ• v = v1 v2 ! ¥?ø~Íï˛. §± ky(x)k2 = kΦ(x)vk2 ≤ akv1k2e −ρx +bkv1k2 ≤ (a+b)kvk2, x ∈ [0,∞). ddåyá©êß| (2) ")¥ Lyaponov ½. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!½Vg!Ç5‡gá©êß|")½5