第一节二重积分的概念、计算和应用 /1+fn(a, y) +fn(x,y)doSm+D或S=//1+2+2do同理，设：%=g(y，z），（y，z）eD，g(y，z）在D具有一阶连续偏导数，则有s=/+ +do设：y=h(%，z），（%，z）eD，h(，z）在D具有一阶连续偏导数，测有S=i+y+do.D.例25求半径为a的球面的面积，解平行于z轴的直线穿过球面时，与球面有两个交点，因此需将球面分成上、下两部分，根据对称性，只需求出上半球面面积乘2即可．上半球面方程：z=Va-x-y（）DD={(y)1x+y≤a2)aazaz%ax/2-x-"aya2-x2故=2/+2+2dg=2do=2aceDVa2-x21= 4ma[ - /a2 - 2= 4ma2.≤b(o <b注这里用到了广义二重积分，或取D：2S,=2/1+2+2dg=2lde02-22/D=4mal-Va2-2= 4ma(a -/a26S=limS,=lim4ma(a-Va2-b2)=4ma2b→*4.质量与质心由力学知道，n个质点系的质心坐标为"W2mimy.MMili=I72m2mmmi=12mor.M,-其中m；（i=1，2，，n）为第i个质点的质量，Mm分别是质点系81 m ,是质点系的总质量,对x轴和轴的静力矩，m=设有一平面薄片，它位于xOy面内区域D上，在点（%，y）处的面密度为区域D上的连续函数p（%，）.现求它的质量和质心坐标，·139
第七章多元函数积分学在区域D上任取一个小区域d（do也表示小区域的面积)，在do上任取一点（x，y).由于do很小，p(，y）又在D上连续，所以相应于da的部分薄片的质量近似等于p（x，y）do，平面薄片的质量为,y)dg00x同理，相应于dg的部分薄片对轴和y轴的静力矩近似等于ydm=yp（，y)do和xdm=xp(%，y)da，即dM，=yp(x，y)dg，dM,=xp(%，y)dg，于是平面薄片对×轴和y轴的静力矩分别为M=[yp(x, y)do, M, = Jxp(x, y)do,DD所以平面薄片的质心坐标为Jxp(x, y)doJyp(x, y)doMMDDYmo(x, y)domJp(x, y)doDD如果平面薄片是均匀的，即p（%，y）是常数，则均匀平面薄片的质心坐标为xdo ydoAJAJ7其中A=do为闭区域D的面积.这时平面薄片的质心坐标与密度无关，而由闭区域D的形状所决定，称为平面图形D的形心，例26一圆环薄片由半径为4和8的两个同心圆所围成，其上任一点处的面密度与该点到圆心的距离成反比，已知在内圆周上各点处的面密度为1，求圆环薄片的质量，解如图7-31所示，积分区域D是42≤x2+y2≤82，圆环薄片的质量m为t3O图7-31图7-32o(x,y)dokk因为p(x，y)月所以E二放所求质量为4/2+·140
第一节二重积分的概念、计算和应用1da=rdr=32㎡m=de2/a2+12例27求位于两圆p=2sin和p=4sin之间的均勾薄片的质心，解如图7-32所示，因为闭区域D对称于轴，故质心C（，）必位于y轴上，于是ydx=0,yAJ易见积分区域D的面积等于这两个圆的面积之差，即A=3.再利用极坐标计算积分：56sin*odo=7m."sinedeo2drJ ydo = Jrsindrdo =.3J0sinfDD_7元-7所求质心是C0因此3元13*5.平面薄片的转动惯量设x0%平面上有个质点，它们分别位于点（，y）（i=1，2；…，n），质量分别1Zm为m；（i=1，2，，n），该质点系对α轴、对y轴的转动惯量分别为I，=1之xml，现在讨论相应的连续刚体的情况，=1设有一平面薄片，它在x0平面上占有（有界闭）区域D，面密度为连续函数p=p（%，y），（，y）ED，运用元素法求其转动惯量.在D上任取一直径很小的区域do（其面积也记为do），（，y）为dg中的一点，由于do很小，且p(，y）在D上连续，因此相应于do部分的质量dM=p（，y）do，且这部分质量可近似看作是集中在点（，y）上，于是可写出d对轴、对轴的转动惯量：dl=yp(,y)do,dl,=xp(,y)da,I?故薄片对轴、对轴的转动惯量分别为I,= Jyp(x, y)da, l,= Jxp(x, y)do.1注平面薄片D关于直线l：ax+by+c=0的转动惯量为I, =dp(x, )dedy,nlax + by + cl其中dVa2+h3例28求曲线r.=a(1+cos0）所围平面薄片（p=1）对极轴的转动惯量，a4a(1+cos0)pda=(rsino)2rdrsino(1+cos0)*de解deI4·141
第七章多元函数积分学2132aA习题7-1用1.计算Jdady，其中D：D(1) t(x, y) /x/≤1, ly/≤2) ,(2) (a, 川/+≤1)(3) t(x, ) / 12 ≤ x2 + y2 ≤ 32) .2.用二重积分表示立体号，，2≤1，z≤0的体积，并写出积分区域的表达式623.设1=[+-1ddy，其中D是圆环1≤*+≤2所确定的闭区域，则DB. 1 < 0C. I= 0A. I>0D.I≠0但符号不能确定4.比较=(+)da与I=（+)2do的大小，其中+≤1,则73C.>1B. 1<12D.无法比较A. 1, = 125.设1,= Jin(x+y)da,l2=(x +)2dg,13= sin?(+y)da,其中D-[(a.5/z0.y0. f++y4]3（2比较1、12、1的大小6.利用二重积分的性质估计积分1=』（++1)da的值，其中D是矩形闭区域：0x027.估计积分值1=(x+y+1)dg，其中D=[1,2]×[0,1].8. 设],=J (2 + y2)3d,12 = J (x2 + 2)do,其中D, =[~1, 1] ×[- 2, 2],DD,D2=[0，1]×[0,2]，试说明1,与12的关系.[(x, )do.9.设(x，y）在D=（(，y)/x+≤p）上连续，求limp-0*p110. 计算二重积分/=J(α+y)gn(α-)do,其中D=(s,)10≤x≤1, 0≤≤1)，函T数(u）在D上连续，: 142 :
第一节二重积分的概念、计算和应用11.计算下列二重（二次）积分(1)T(x-y)dyd(2)Jxe-2dedy，其中D=(a,)10≤≤1,0≤≤11P（3）【xy2dxdy，其中D是由|α=2，1yl=1所围闭区域；En（4）ycos（xy）dady，其中D是由0≤x1，0≤y≤所确定的闭区域；（5）[ddy，其中D是由y=，y=2%，y=1成的闭区域；于0（6)』二ddy，其中D是由=3%，y=*，%=1，=3所确定的闭区域，n（7）设D是由y=2，y=%，y=2所确定的闭区域，求（+yzx)dxdy，（8）设D是由x=0，y=π，=x所确定的闭区域，求sin（+y)dxdy；（9）设D是由%=y，%=3-2y，y=0所确定的闭区域，求xydxdy；n（10）设D是由=0，y=0，2x+y=4所确定的闭区域，求（4—α2)dxdy； siny dxdy（11）设D是由=，=y所围闭区域，求二重积分|12.把二重积分1=f(，)do转化为两种不同次序的二次积分，其中D分别如下（1）由直线=%，=3%，%=1，=2所围成的闭区域；（2）由直线+y=1，x-y=1，=0所围成的闭区域。13.交换下列二次积分的积分顺序(1) fda ef(x, y)dy ;(2) f.dy Jf(x, y)da ;(3) F'dy ff(x, m)de + f,dy if(x, y)de;3ETi(4) J'da ,f(x, )dy ;(5) 'da 2-Va-f(a, y)dy +'dxf(x, y)dy ;(o) fd, ndy(ds0):.143