第七章多元函数积分学14.利用两种方法计算二重积分.（1）』xydg，其中D是由直线=1，=2及=所围成的闭区域；0fr(2)计算dady，其中区域D由直线α=2，y=及曲线xy=1所围成(3）[（xy+1)ddy，其中D是由4x2+y2=4所围成的闭区域，，15.（1)设(y）在［a，b}上连续，证明：'dx()dy=J'f(y)(b-)dy；（2）计算/'dyx2sinxyde：16.计算-α dady，其中D=((x)I-1≤≤1,0≤x≤D17.计算积分 1-ayed +Jfedrdr18.把二重积分写成极坐标系下的二次积分.(1) 1= f(x, y)do, D= ((x, y) 1 x2 + y2 ≤a2, x≥0, y≤0, a >0) ;(2) I= [(x, y)do , D=(x, y) 1 x2 + y ≤ 2x, y≥0) ;(3) 1= f(x, y)do, D= ((x, y) a2 ≤x2 + y2 ≤6b2, x≤y≤/3x, x > 0)(0 < a <b) ;(4) /= Je--pdg, D=(x, y)11 ≤*2 +y2≤4) ;(5) 1 = /f(x2 + y2)dxdy, D=t(%, ) 1 x2 + y? ≤2y) 19.利用极坐标计算下列二重积分，（1）2+dg，其中D是由1≤2+y≤4围成的圆环形区域；（2）ydxdy，其中D是由x2+y2=α2和两坐标轴所围成的第一象限的闭区域；D(3）（h-2α-3y)dady，其中D是由±2+y2=R所围成的闭区域；n（4）[1n(1+x2+2)dxdy，其中D是圆x2+y2≤1所围成的闭区域；ndxdy(5) /其中D是由1≤x+y?≤2，≥0所围成的闭区域DV4-x2-2Jarctandedy，其中D是由x2+y2=2与直线y=x及y轴所围成的闭区域(6)xD144
第一节二重积分的概念、计算和应用20.选用适当的坐标计算下列积分，．（1）【dxdy，其中D是由直线=2，y=x和双曲线xy=1所围成的闭区域；n（2）』xydxdy，其中D是由+y≤1和+y≥1所围成的闭区域；D1-x2-2dxdy，其中D是由+y≤1，≥0，≥0所围成的闭区域；(3) V1+x2+y（4）（x2+y2)ddy，其中D是由直线y=x，y=+2和=2，=6所围成的闭区域；e++rdxdy，其中D是由直线|a1+1yl≤1所围成的闭区域；(5)（6）xydxdy，其中D是由直线y=0，y=1和双曲线x2-y=1所围成的闭区域；，y=2α和双曲线xy=1，xy:=2所围成的（7）xy2dxdy，其中D是由直线y闭区域；:1dxdy，其中D是由圆周2+≥2x所围成的闭区域，(8)DV4-x2.-X≤4，2+2与轴围成的位于第一（9）』（×+2)dxdy，其中D是由圆周2+yD象限内的闭区域：（10）1x2+y2-2]dxdy，其中D是由圆周+≤9所围成的闭区域，D21.计算（x+y2)dady，其中D为由圆2+y2=2y，x2+y2=4y及直线x-/3y=0，Dy-/3x=0所围成的平面闭区域。22.求半球体×2+2+z2≤9（z≥0）的体积，23.求曲面z=1.-4x2-y2与×0%面所围成的立体体积，24.求由四个平面=0，=0，=1及=1所围成的柱体被平面z=0与=6-2-3y截得的立体体积，25.求圆锥面z=/2+y被柱面22=2×所割下的那部分曲面的面积。2含在由平面α=1，y=0及y=x所围成的柱体内部的那部分曲26.求抛物柱面z面的面积，27.求下列平面图形D的形心（1）D由抛物线y=/2x与直线%=1，y=0所围成；（2）D由心形线r=1+cosO所围成；x2.y=1（≥0）与轴所围成（3）D由右半椭圆a2#62145
第七章多元函数积分学28.设圆盘的圆心在原点上，半径为R，面密度p=x2+y2，求该圆盘的质量29.求由坐标轴与直线2x+%=6所围成的三角形均匀薄片的质心30.求曲线（x2+2)2=2a2（2-）和x2+≥a所围成区域D的面积+与2=4所国立体的体积。31.求z=62a2第二节三重积分的概念、计算和应用【课前导读]和二重积分一样，我们仍然从具体的实例引出三重积分的概念：我们来看空间物体的质量：假设物体在空间占有有界闭区域2，若物体是均质的，即密度P是常量，则质量M=pV，其中V是Q的体积：若物体是非均质的，密度p是变量，不妨设p=p（，y，z），（x，y，z）eQ,p(x，y，z）是连续函数，任取若干个曲面网，将区域分成n个小区域A（i=1，2，，n）（Av既表示第个小区域，也表示其体积），并记=max(A的直径），在Au内任取一点（xi，yi，z），以该点的密度p(xi，yi，）近似表示该小区域上每一点的密度，则Au;的质量为Am一p(αi，yi，z)Ani，因此就有RM=mZAm=limp(si, y,z)A:入-0:=11-0i=l一、三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分。，定义，设函数（，y，z）在空间的有界闭区域2上有界，将2任意地分成n个小区域A（i=1，2，，n），其中An既表示第i个小区域，也表示它的体积，任取(x，z）eAo (i=1,2,,n)，记入=max(A的直径，若lim(x，，)09-0:存在，则称函数（x，y，2）在2上可积，此极限称为函数（，y，2）在上的三重积分，记作(x，y，z)d，即0Jf(x,y,z)du=limZf(xi,yi,z,)A0:(1)0其中d为体积元素注二重积分定义中的其他一些术语，如被积函数、积分区域都可以相应地沿用到三重积分上·在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Q，那么，除了包括2的边界点的一些不规则的小闭区域外，得到的小闭区域A；为长方体，设长方体的小闭区域A的边长为Ax;、Ayi、Az:，则Au,=Aa;Ay,Az;：因此，在直角坐标系中，有时也把体积元素· 146
第二节三重积分的概念、计算和应用do记为dadydz，而把三重积分记为(x，y，z)dxdydz，其中dxdydz称为直角坐标系下n的体积元素。当函数x，y，z）在空间的有界闭区域上连续，式（1)右端的和的极限必定存在，即（x，，2)ds存在，以后我们总是假定函数在闭区域α上连续，此外，三重积分的性质也与二重积分的类似，这里就不重复了如果p(%，y，z）表示占据空间闭区域2的物体在点（，y，z）的密度，且p(，y，z）在2上连续，那么该物体的质量为M= Ilp(x, y, z)di.2另外，由兰重积分的定义不难看出闭区域2的体积为lde-C这里d是被积函数f(，y，）=1时三重积分1d的常用简便记号f二、三重积分的计算计算三重积分的基本思想是把三重积分化成三次积分进行计算，现在给出计算三重积分的常用方法。1.利用直角坐标计算三重积分我们先考虑有如下几何特征的闭区域Q：平行手z轴且穿过Q内部的直线与2的边界曲面S相交不多于两点，若多于两点，则需将2分成若干部分，使每一部分都满足相交不多于两点的要求，把这种闭区域2投影到xOy面上去，得到一个平面闭区域D：以D的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面与曲面S的交线就从S中分出上下两部分曲面来，它们的方程分别为Si: z=z(x, y),S2: z =z2(x, y)(xy)假定z（%，y），22（，y）都是D上的连续函数，且不妨设z(x，)≤z2(，y），这时候，对于D,内的任一点（，），过该点且平行于z轴的直线必然通过曲面S，穿入2的内部，然后又通过曲面S，而穿出2的内部，穿人、穿出的点的竖坐标分别是z(%，y)，z2（%，y）（见图7-33），这样积分区域可以表示为1Q= ((x, y, z)/z ≤z(x, y) ≤z2, (x, y) e Dx).-y2(x)我们先把、看作定值，将（，，z）看作只yry(x)是≥的函数，在区间[z(，y)，22(，)］上对z做定积分，积分的结果事实上成为D上、的函数，图7-33147
第七章多元函数积分学就三E记为Fx，y）即2(x,F(x, y)=f(x, y, z)dz.然后计算F（x，y）在D上的二重积分，其结果就是三重积分(x，y,z)du，即(x, y, z)d= J F(x, y) ddy = J ["f(x y, z)da drdy (2)0D.此式右端这个先对z的单积分，后对与的二重积分也常记作 ddy [2(x, n)f(x,y,z)dz.D.y因此，式(2)也写作(, , z)do= J dedy a* f(x, y, z)dz.(x,y)Dar如果闭区域D又可以表示为D=（(，)ly(）≤≤y2(），≤≤b)，那么再把对与的二重积分化为二次积分，最终得到三重积分化为先对z，次对，最后对的三次积分的一个计算式f(x,y,z)dYa(x)z2(x,)dyf(x, y, z)dz.0y(x)上述将三重积分化成三次积分是先做一个定积分，再做tz二重积分（二重积分再化为二次积分），这种方法称为投影法C(0,0,1)或先一后二法B(0,1,0)例1计算三重积分用xdxdydz，其中α为三个坐标面yCD及平面+y+2=1所围成的闭区域A(1,0,0)解如图7-34所示，将区域2向xOy面投影，得到投Y图7-34影区域D为三角形闭区域0AB：（，）10≤%≤1，0≤≤1-x在D,内任取一点（，y），过此点作平行于z轴的直线，该直线由平面=0穿人，由平面z=1-%-穿出，即有0≤≤1y.所以I xdadydz = I dxdyxdz=dxd1:xda(1-x-y)dyDey1J(1-0)Pdf(-2+)da-2J.24例2计算三重积分[=xdxdydz，其中α为由双曲抛物面xy=及平面x+1=00z=0围成的闭区域.:148