第七章·多元函数积分学D=(,)10≤x<+8,0≤<+8) =(r,0)0≤r<+8,0≤0≤则有do"rdr=号[10-1-4-dxdy= p=e+VT即-xdxT2，计算记例17dxdy，其中D是由曲线x+y2=2x所围成的平面区域解积分区域D是以点（1，0)为圆心，以1为半径的圆域，其边界曲线的极坐标方程为r=2cos0.于是区域D的极坐标表达式为TTT1(r, 0) /-00≤r≤2cos0)2所以2sin220sf sin20-dxdyrdrde=dorde2.cos20cos20成泰2sin2odo=(1-cos20)do= ㎡.例18写出在极坐标系下二重积分r（x，y)dxdy的二次积分，其中区域DD=l(,)11-x≤≤/-,0≤x≤11.解利用极坐标变换%三rcoso，y=rsino，易见直线方程x+y=1的极坐标形式为1.sino + cosg'故积分区域D（见图7-26）的极坐标表达式为x+1TT11(r,0)10≤≤《r,2号Xsino+icoso所以图7-26Lx,do.y)dxdy.=f(rcoso, rsino)rdrDhs*四、二重积分换元法二重积分从直角坐标系形式变换成极坐标系形式：Jr(x, y)ddy = Jr(rcose, rsine)rdrde,DDx=rcos0(x= (r, 0),(x=x(u,v),这里，可以看作是的一种特例，对于一般的变换=rsing,y=(r, 0),y=y(u, v),:134
第一节二重积分的概念、计算和应用（x，）一→（u，），二重积分的形式如何呢？我们不加证明地给出下面的结论！(x=x(u, v),定理2设函数f（(%，y）在x0y平面内的闭区域D上连续，变换将w=y(u,w)uOu平面内的闭区域D变换成xO%平面内的闭区域D，且满足（1）x（u，）y（u，）在D上具有一阶连续偏导数；(a(x,y)(2)在D"上J=+0；a(u,v)(3) 变换[=(u, ),：D'→D是一对一的，则有y=y(u,v)D+J(x, )ddy Ji(x(u, )(uy))/Jldude -容,此式也称为二重积分换元公式，(x = rcos,cosersinga(x,y)特别地，取则：，因此x= rsine.a(r,0)sing.ircose[(x, y)dxdy = Jf(rcoso, rsino)rdrde.DDacoso-arsino(x=arcoso,a(x,y)取广义极坐标abr，因此bsinobrcoso= brsino,a(r,0)Jf(x, y)do = f(arcose, brsing)abrdrdoD例19计算二重积分e品dxdy，其中区域D由x=0,y=0*+y=2所围成，D11v-u222(u=y-x,1d(x,y)Js.作即解≠0,于是112a(u,v)w+uY+?222.Di =t(u, v) / -21PS因此Jendy- Jory:11211'doe-dududeswdy = ef2J2eaDD例20求由直线x+y=C,x+y=d,y=ax,y=bx(0<a<b,0<c<d)所围成的+闭区域D的面积.1uu[u=%+ya1+01+0(1)2T4解作￥0.即于是A(1+)2a(u,n)Duw,uv1+v1+0(1 +w)2D'=t(u,v)lc≤u≤d, a≤u≤b)因此·135
第七章多元函数积分学(b -a)(d2 - c2)edo frudu-ajedudoJdxdy = I IJldudu = J -5=(1t2)32(1+a)(1+b)D五、二重积分应用举例1.空间立体体积在本章前面内容已经知道，若z=f，y）在有界闭区域D上连续，且f（，y）≥0则二重积分[(x,.y)do在几何上是以z=（，y）为顶的曲项顶柱体的体积，所以我们可以利用二重积分计算立体的体积例21求两个底面圆半径相等的直角圆柱所围立体体积，解设圆柱底面半径为a，两个圆柱面方程分别为x2+y?=a2利+z=a2.由立体对坐标面的对称性，所求体积是它位于第一卦限的那部分体积的8倍（见图7-27（a)）。立体在第—卦限部分的积分区域D,=1（，）10≤≤a,0≤y≤Va2-（见图7-27(b)），它的曲顶为z=V2-，于是yJasryya-rJa-x(a)(b)图7-27Vi = Va2- x2do --d[ya-1 dx2)d2a3316a3所以V= 8V,3例22求球体x+y2+≤4a2被圆柱面+y?=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分立体的体积解如图7-28所示，由对称性，有V=4/l /4a2-x2-y2 dxdy· 136
第一节二重积分的概念、计算和应用其中D为半圆周y=/2ax-及轴所围成的闭区域在极坐标中，积分区域D-=(G,0) 10≤0≤,0≤r≤2acos024a-r所以2acos0-4/4a2-rdrd0=4J4a?-rrdrdeDSA32.3323(㎡2(1 - sin30)do =es233图7-282求椭球体艺+ 32*例23≤1的体积（其中a>0，b>0，c>0).a2*262由对称性知，所求体积为解y2x2V=8]e162doa2DDN12232y≥0.令x=arcoso，y=brsing，称其为广义极坐≤1,%≥0,其中积分区域D：+a262T标变换，则区域D=1(r，9)10≤≤0≤r≤,又2--arsineacosoa(x,y)=abr,brcosea(r,0)bsino于是)/1-rd(1-2)=4T2rdr=8abc.abcV=8abcde7132.特别地，当a=b=c时，则得到球体的体积V43ma为62.平面区域面积例24求曲线（x+y2)2=2a2(2-2）和x±2+%2≥α所围成区域D的面积（见图7-29).解根据对称性有D=4D，在极坐标系下：x?+y=a2,即r=a;图7-29(22+)2=2a2(2=2)，即=a/2cos29.r=a/2cos20，得交点A故所求面积为6:raV/200s294/dxdyrdrdo=rdrdxdydeDDcos20 -do=a=422137
第七章多元函数积分学3.曲面的面积设曲面：z=(x，y），（，y）eDy，（D为曲面在xOy面上的投影区域），f(，y）在Dx上具有一阶连续偏导数，注本节所指的曲面，要求是种简单曲面：即曲面上的点与其在x0y面上的投影区域D上的点一一对应，如果任何平行于轴的直线和曲面正好相交于一点，那么这个曲面就是属于这种类型。如果曲面不是这种类型，则可将其分成若干部分，使其每一部分符合上述性质我们用元素法来推导有关公式（见图7-30）：x,y)AS图7-30将区域D任意划分成若干个直径很小的区域Ao（i=1，2，，n），并以da表示某个小区域，也表示其面积，在dg上任取一点P（，y），对应地曲面上有一点M（x，y，z（x，y）），点M在xOy平面上的投影即点P，点M处曲面的切平面设为T，过do的边界且母线平行于z轴的柱面截曲面≥及其切平面，截得的小曲面记为ds，切平面上的一小片平面记为dA，由于do的直径很小，切平面上的dA可以近似地代替ds，即dsd，而dA=do其中为点M处曲面上的法向量（指向朝上）与z轴cosr所成的夹角、由n=（-f(α,y)，-f(x,y),1)知cosy1+f(x，y)+)(x.ds ~ d=- 1+?(s, n) + (a, do, 因此cosy·138