2.利用导数来证明不等式 例4当x>0时.试证x>ln(1+x)成立。 (补充题) 证明：令f(x)=x-ln(1+x),则f'(x)= 1+x 因为f(x)在[0，+0)上连续，且在(0，+0)内可导 f'(x)>0,所以f(x)在[0，+o)单调增加。 从而，当x>0时.有f(x)>f(0)成立。 即x-ln(1+x)>0成立，也即x>ln(1+x)成立。 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 2. 利用导数来证明不等式 例 4 当 x > 0 时．试证 x x > + ln(1 ) 成立。 （补充题） 证明： 令 f ( ) ln(1 ), xx x = − + 则 () . 1 x f x x ′ = + 因为 f ( ) x 在[0, ) +∞ 上连续，且在(0, ) +∞ 内可导 f x ′( ) 0, > 所以 f ( ) x 在[0, ) +∞ 单调增加。 从而，当 x > 0 时．有 f ( ) (0) x > f 成立。 即 x x − +> ln(1 ) 0 成立，也即 x > + ln(1 ) x 成立
3.利用导数来证明方程根的唯一性 例5设a2-3b<0,证明：实系数方程 x3+ax2+bx+c=0 的实根是唯一的. (课本例6) 提示：令f(x)=x3+ax2+bx+c (1)利用零，点定理证存在性。 (2)利用导数证明函数单调，从而证明根的唯一性 2009年7月3日星期五 7 目录 上页( 下 、返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 3. 利用导数来证明方程根的唯一性 例 5 设 2 a b − 3 0 < ，证明：实系数方程 3 2 x ax bx c + + += 0 的实根是唯一的． （课本 例 6） 提示： 令 3 2 f ( ) x x ax bx c = + ++ （1）利用零点定理证存在性。 （2）利用导数证明函数单调，从而证明根的唯一性