必泰勒中值定理如果函数(x)在含有x.的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则对任一xe(a, b),有f(x)= f(xo)+ f(xo)(x-xo)+ f"(xo)(x-xo)2 f(n)(xo)(x-xo)n +Rn(x) f(n+l)()其中 R,(x)(x-xo)n+1（三介于x与x之间)一(n+1)!展开式称为(x)按(x-xo)的幂展开的n阶泰勒公式而R,(x)的表达式称为拉格朗日型余项
v泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直到 (n1)的阶导数, 则对任一x(a, b), 有 展开式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式, 而Rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项. 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x )(x x ) f x x x ( )( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n n n , 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) n n n x x n f R x 其中 ((介介于于xx0 与 x 之间). 0与x之间)
注意到③R,(x)=o[(x - xo)n1在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为(Xf(x)= f(xo) + f(xo)(x- xo) + f"2!x-xo)" +o[(x-xo)"]XVn!公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项*可以证明：1f(x)在点xo 有直到n阶的导数④式成立
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) 0 ( 0 ) 2 2! ( ) x x f x n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) [( ) ] 0 n o x x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x o x x ③ ④ * 可以证明: f (x) 在点 x0 有直到 n阶的导数 ④ 式成立