沈阳师范大学：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第5章 定积分及其应用

高等数学丨（上）教案第5章定积分及其应用课次21授课题目84.1不定积分的概念与性质教学目标：了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质教学重点：原函数与不定积分的概念教学难点：原函数的求法教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学内容（注明：*重点#难点？疑点）教学方式与策略复)=cosx,习积分与微分为互逆引运算(x>0)入研究原函数，必须、原函数与不定积分的概念解决下面两个问题：定义1设f(x)是定义在区间I内的已知函数，如果存在可导函数1)在什么条件下一个函F(x)，使得对于该区间I内的任意一点x，都满足F(x)=f(x)或者数的原函数存在？如果dF(x)=f(x)dx，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数存在，是否只有一个？2)若已知某函数的原函例如，（x3）=3x2，所以x3是3x2的一个原函数数存在，怎样将它们求出来？又如，当xe(1,+)时，1n(x+Vx2-1)讲/2-1第二个问题将在下一节研究，关于第一个问题1所以In(x+Vx2-1)是-在xE(1,+o)内的一个原函数.我们有下面两个定理授Vx2-1注由于初等函数在其定理1如果函数f(x）在区间1上连续，那么f(x)在上存在原函数有定义的区间上是连续定理2若F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，则F(x)+C是新的，所以初等函数在其定义的区间上都有原函f(x)在1上的全部原函数.数定义2函数f(x)的所有原函数，称为f(x)的不定积分，记做课「f(x)dx，其中『称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式如果F(x)是f(x)的一个原函数，由定义有「f(x)dx=F(x)+C.例1求函数f(x)=x的不定积分.例2求函数(x)=二的不定积分。x计算机与数学基础教学部杨淑辉

高等数学 1（上）教案 第 5 章 定积分及其应用 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 1 - 授课题目 §4.1 不定积分的概念与性质 课次 21 教学目标：了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质 教学重点：原函数与不定积分的概念 教学难点：原函数的求法 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入    cos x  ，   ( 0) 1    x x 积分与微分为互逆 运算 讲 授 新 课 一、原函数与不定积分的概念 定义 1 设 f (x) 是定义在区间 I 内的已知函数，如果存在可导函数 F(x) ，使得对于该区间 I 内的任意一点 x ，都满足 F '(x)  f (x) 或者 dF(x)  f (x)dx ，则称 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数． 例如， 3 2 (x )'  3x ，所以 3 x 是 2 3x 的一个原函数． 又如，当 x(1,) 时, 2 2 1 ln( 1) 1 x x x          ， 所以 2 ln(x  x 1) 是 2 1 x 1 在 x(1,) 内的一个原函数． 定理 1 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续，那么 f (x) 在 I 上存在原函数． 定理 2 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数，则 F(x) C 是 f (x) 在 I 上的全部原函数． 定义 2 函数 f (x) 的所有原函数，称为 f (x) 的不定积分，记做 f (x)dx  ，其中  称为积分号， x 称为积分变量， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为积分表达式． 如果 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，由定义有 f (x)dx  F(x) C  ． 例 1 求函数 4 f (x)  x 的不定积分． 例 2 求函数 1 f (x) x  的不定积分． 研究原函数，必须 解决下面两个问题： 1）在什么条件下一个函 数的原函数存在？如果 存在，是否只有一个？ 2）若已知某函数的原函 数存在，怎样将它们求 出来？ 第二个问题将在下一节 研究，关于第一个问题 我们有下面两个定理 注 由于初等函数在其 有定义的区间上是连续 的，所以初等函数在其 定义的区间上都有原函 数．

高等数学1（上）教案第5章定积分及其应用例3某商品的边际成本为C(x)=50-x，求总成本函数C(x)二、不定积分的几何意义讲在f(x)全部原函数F(x)+C(CeR)中，对任何一个给定的C，都有个确定的原函数，在几何上也就对应着一条确定的曲线，称为积分曲授线。F(x)+C对应着一簇曲线，称为f(x)的积分曲线簇，这些曲线在横坐标相同点处的切线斜率相等，即它们在横坐标相同点处的切线彼此平行，积新分曲线簇中的任何一条曲线都可以由其中的y=F(x)沿y轴上下平移而得。例4设曲线通过点（1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐课标的两倍，求此曲线方程.三、不定积分的性质积分曲线图1. 线性性设f(x)，g(x)的原函数存在，则(1)[kf(x)dx=kJf(x)dx（k是不为零的常数），(2) JL(x)+g(x)dx=J f(x)dx+ J g(x)dx2.可微性(1) [J f(x)dx}'=(x)或dl f(x)dx)= f(x)dx,(2) J (x)dx=f(x)+C或Jdf(x)=f()+C .由上面性质可知下列各式成立。J(5-x+2x)dx=J5dx-J xdx+2J x'dx,(Jcos xdx)'=cosx,Jd(2x) =2x+C .J(x+x) dx=x+x+C,四、基本积分公式表 [ - 1.[kdx=kx+C (k是常数),J"= In|xI+C,4. Je'dx=e'+C, -7. Jcos xdx=sinx+C,6. Jsin xdx=-cosx+C,8. J sec xdx=tan x+C,9. Jcsc' xdx=-cot x+C,10.1J sec xtan xdx=secx+C,1l. Jcsc xcot xdx=-cscx+C,计算机与数学基础教学部杨淑辉- 2 -

高等数学 1（上）教案 第 5 章 定积分及其应用 - 2 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 讲 授 新 课 例 3 某商品的边际成本为C (x)  50  x ，求总成本函数C(x) ． 二、不定积分的几何意义 在 f (x) 全部原函数 F(x)  C (C  R) 中，对任何一个给定的C ，都有 一个确定的原函数，在几何上也就对应着一条确定的曲线，称为积分曲 线．F(x)  C 对应着一簇曲线，称为 f (x) 的积分曲线簇，这些曲线在横坐 标相同点处的切线斜率相等，即它们在横坐标相同点处的切线彼此平行，积 分曲线簇中的任何一条曲线都可以由其中的 y  F(x) 沿 y 轴上下平移而得. 例 4 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线方程． 三、不定积分的性质 1．线性性 设 f (x) ， g(x) 的原函数存在，则 （1） kf (x)dx  k f (x)dx   （ k 是不为零的常数）, （2） [ f (x)  g(x)]dx  f (x)dx  g(x)dx    2．可微性 （1）[ f (x)dx]'  f (x)  或 d[ f (x)dx]  f (x)dx  , （2） f '(x)dx  f (x) C  或 df (x)  f (x) C  ． 由上面性质可知下列各式成立． 3 3 (5  x  2x )dx  5dx  xdx  2 x dx     ， ( cos xdx)  cos x  , 3 3 (x  x) dx  x  x C  ， d(2x)  2x  C  ． 四、基本积分公式表 1． kdx  kx C  ( k 是常数)， 2． 1 1 x x dx C         （  1）， 3． 1 ln | x | C x    ， 4． x x e dx  e C  ， 5． ln x x a a dx C a    （ a  0,a  1 ）， 6． sin xdx  cos x C  ， 7． cos xdx  sin x C  ， 8． 2 sec xdx  tan x C  ， 9． 2 csc xdx  cot x C  ， 10． sec x tan xdx  sec x C  ， 11． csc x cot xdx  csc x C  ， 积分曲线图

高等数学1（上）教案第5章定积分及其应用arcsinx+Carctanx+C13技巧：五、直接积分法拆项积分利用积分表中的公式和不定积分的性质可直接求一些简单函数的不定积加一项、减一项分，这种求不定积分的方法称为直接积分法，三角公式代数公式21+x+x例5求积分)dx.例6求积分T+x2(1+x2)V1-x说明：以上几例中1+2x2例 7求积分求积分dxd例8的被积函数都需要进行2(1+x2)+cos2x恒等变形，才能使用基例9已知y=f(x)在点(x,f(x))处的切线斜率为sec2x+sinx，且本积分表.此曲线与V轴的交点为(0.5)，求此曲线的方程1.计算下列积分：巩(2) Jcos xdx,(3) Je*ldx,(1) Jsin'xd(sin x)固2-2练(5)(6)/(4) J(cosx- sin x)dx,dxdx1+xV1-x习2.已知曲线y=f(x)过点（0，0）且在点（x,y）处的切线斜率为k=3x2+1，求该曲线方程1.原函数：如果F(x)=f(x)，则F(x)是f(x)的一个原函数2.存在性：连续函数有原函数推论：初等函数在有定义的区间上有原函数注：（1）原函数有无穷多个：（2）任意两个原函数相差一个常数2.不定积分：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分,记作「f(x)dx小注：（1）不定积分不是一个函数，而是一个函数的集合；（2）【f(x)dx-「f(x)dx=C结3. 不定积分的性质：①[[K,f(x)±K,g(x)ix=K,[f(x)dx±K,[g(x)dx②[[f(x)dx=f(x）d[[f(x)dx=f(x)dx（先积分后求导（微分)，形式不变)f'(x)dx=F(x)+C[df(x)=F(x)+C（先微分后积分，差个常数）3作习题4-2.3自测题4—7,8,9.业教学反思计算机与数学基础教学部杨淑辉 3

高等数学 1（上）教案 第 5 章 定积分及其应用 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 3 - 12． 2 1 arctan 1 dx x C x     ， 13． 2 1 arcsin 1 dx x C x     ． 五、直接积分法 利用积分表中的公式和不定积分的性质可直接求一些简单函数的不定积 分，这种求不定积分的方法称为直接积分法． 例 5 求积分 ) . 1 2 1 3 ( 2 2 dx x x     例 6 求积分 . (1 ) 1 2 2 dx x x x x     例 7 求积分 . (1 ) 1 2 2 2 2 dx x x x    例 8 求积分 . 1 cos 2 1   dx x 例 9 已知 y  f (x) 在点 (x, f (x)) 处的切线斜率为sec x sin x 2  ，且 此曲线与 y 轴的交点为 (0,5) ，求此曲线的方程． 技巧： 拆项积分 加一项、减一项 三角公式 代数公式 说明：以上几例中 的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基 本积分表． 巩 固 练 习 1．计算下列积分： （1） sin d(sin ) 5  x x , （2） cos xdx 3  , （3） e x x d 1  , （4） (cos x  sin x)dx , （5） x x d 1 2 2   , （6） x x d 1 2 2    . 2．已知曲线 y  f (x)过点（0，0）且在点（ x, y ）处的切线斜率为 3 1 2 k  x  ，求该曲线方程． 小 结 1.原函数：如果 F'(x)  f (x)，则 F(x)是 f (x) 的一个原函数． 2.存在性：连续函数有原函数. 推 论：初等函数在有定义的区间上有原函数. 注：（1）原函数有无穷多个；（2）任意两个原函数相差一个常数. 2.不定积分： f (x) 的全体原函数称为 f (x) 的不定积分,记作  f (x)dx . 注：（1）不定积分不是一个函数，而是一个函数的集合；（2） f (x)dx  f (x)dx  C   . 3.不定积分的性质：①  1 2  1 2 K f (x)  K g(x) dx  K f (x)dx  K g(x)dx    ② f (x)dx f (x)       d f (x)dx f (x)dx       （先积分后求导（微分），形式不变） ③ f (x)dx  F(x) C  df (x)  F(x) C  （先微分后积分，差个常数） 作 业 习题 4-2.3 自测题 4 一 7,8,9. 教 学 反 思

高等数学1（上）教案第5章定积分及其应用课次授课题目4.2.1换元积分法2322.教学目标：掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法教学重点：不定积分的换元法教学难点：不定积分的第二类换元法教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学方式与策略教学内容（注明：*重点#难点？疑点）问题：[cos2xdx=?=sin2x+C解决方法：利用复合函数，设置中间变量过程：令t=2x= dx==dt,「cos2xdxcostdt=-sint+C:复-sin2x+C习在一般情况下：引入设F'(u)= f(u),则[f(u)du= F(u)+C如果u=p(x)（可微）：dF[p(x)]=f[p(x)]p'(x)dx:「f[g(x)]p(x)dx=F[p(x)]+C=[[f(u)du]=0()由此可得换元法1.第一类换元积分法定理1设[f(u)du=F(u)+C，且u=p(x)是可微函数，则此方法也称凑微分法，它需要利用基本积分表[ f(o(x)p(x)dx =J f(p(x)dp(x) =F(p(x) +C .中的积分公式把被积函证因为F(u)=f(u)，所以由复合函数求导法则有数中的一部分凑成中间变量的微分，[F(p(x))'=F(p(x)p(x) = f(p(x)p(x)所以讲[F(p(x)p'(x)dx = F(p(x) +C .授例1求[(2x+5)dx.例2求cOs-新例3 求[xe" dxXdx例4求|例6 [(sin xcos x+ cos/丘)课例5求[tan xdx.JdVx计算机与数学基础教学部杨淑辉-4 -

高等数学 1（上）教案 第 5 章 定积分及其应用 - 4 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 授课题目 4.2.1 换元积分法 课次 22、23 教学目标：掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法 教学重点：不定积分的换元法 教学难点：不定积分的第二类换元法 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 问题：  cos 2xdx  ?  sin 2x  C, 解决方法：利用复合函数，设置中间变量． 过程：令t  2x , 2 1  dx  dt  cos 2xdx tdt   cos 2 1  sin t C 2 1 sin 2 . 2 1  x C 在一般情况下： 设 F(u)  f (u), 则 ( ) ( ) .  f u du  F u C 如果u  (x) （可微） dF[(x)]  f [(x)](x)dx   f [(x)](x)dx  F[(x)]C    ( ) [ ( ) ] u x f u du  由此可得换元法 讲 授 新 课 1．第一类换元积分法 定理 1 设 f (u)du  F(u) C  ，且u  (x) 是可微函数，则 f ((x)) '(x)dx  f ((x))d(x)  F((x)) C   ． 证 因为 F '(u)  f (u) ，所以由复合函数求导法则有 [F((x))]'  F((x)) '(x)  f ((x)) '(x) 所以 f ((x)) '(x)dx  F((x)) C  ． 例 1 求 50 (2x  5) dx  ． 例 2 求   dx e e x x 2 1 例 3 求 2 x xe dx  ． 例 4 求  dx x x 2 1 cos 例 5 求 tan xdx  ． 例 6 求 cos (sin cos ) x x x dx x   ． 此方法也称凑微分法， 它需要利用基本积分表 中的积分公式把被积函 数中的一部分凑成中间 变量的微分．

高等数学「（上）教案第5章定积分及其应用2例7求arcsinx)dx1 + x2V1-xdx例9求例8求dx?+a例10求cosxsin2xdx.例11求sin3xsin5xdx例 12 求[csc xdx 。2．第二类换元积分法问题：讲定理2设x=p(t)是单调可微函数，且β（)±0，若J f(o(0)p'(t)dt = F(t) +C ,解决方法：改变中间变授量的设置方法.则过程：令x=sintJ F(x)dx=J f(p(t)p(t)dt = F(t)+C 0((F[β-"(x)]+C,新 dx = costdt,其中t=-(x)为x=(p()的反函数第二类换元法中常见的有根式代换法、倒代换法和三角代换法三种课cos?td1）根式代换法ax+ba.b如果被积函数含有ax+b或）时，我们可以通过根（应用“凑微分”即可cx+dqc求出结果)式代换法，将原积分化为有理函数的积分计算例13求例14dx.+3/x+2dx例15求Vx+(1+x)解1设t=Vx，解2凑微分法2）倒代换法1！或1=！所谓倒代换，即设x=-一般的若被积函数是分式，分子、分tX母关于x的最高次幂分别是m,n，当n-m>1时，可试用倒代换法dx例16求[x(2+x))3）三角换代法有些特殊的二次根式，为了消除根号，通常利用三角函数关系式来换元，为了计算方便，换元时我们视1为锐角，以后不再说明，一般的作法是：计算机与数学基础教学部杨淑辉- 5

高等数学 1（上）教案 第 5 章 定积分及其应用 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 5 - 讲 授 新 课 例 7 求 a tan 2 2 1 2 ( arcsin ) 1 1 rc x e x dx x x     ． 例 8 求 2 2 1 dx x  a  ． 例 9 求 2 2 dx a  x  ． 例 10 求 3 2 cos xsin xdx  ． 例 11 求  sin 3xsin 5xdx ． 例 12 求 csc xdx  ． 2．第二类换元积分法 定理 2 设 x  (t)是单调可微函数，且 '(t)  0 ，若 f ((t)) '(t)dt  F(t) C  ， 则 f (x)dx  f ((t)) '(t)dt  F(t) C   1 ( ) 1 [ ( )] t x F x C       ， 其中 1 t  (x)   为 x  (t) 的反函数． 第二类换元法中常见的有根式代换法、倒代换法和三角代换法三种． 1） 根式代换法 如果被积函数含有 n ax  b 或 n ax b cx d   （ a b c d  ）时，我们可以通过根 式代 换法,将原积分化为有理函数的积分计算． 例 13 求 3 1 1 2 dx  x   ． 例 14 求 4 1 dx x  x  ． 例 15 求  x  (1 x) dx 解 1 设t  x ， 解 2 凑微分法 2）倒代换法 所谓倒代换，即设 1 x t  或 1 t x  ，一般的若被积函数是分式，分子、分 母关于 x 的最高次幂分别是 m, n ，当 n  m 1时，可试用倒代换法． 例 16 求 7 (2 ) dx x  x  ． 3）三角换代法 有些特殊的二次根式，为了消除根号，通常利用三角函 数关系式来换元，为了计算方便，换元时我们视t 为锐角，以后不再说明， 一般的作法是: 问题：1 ? 5 2    x x dx 解决方法：改变中间变 量的设置方法． 过 程 ： 令 x  sin t  dx  costdt,    x x dx 5 2 1 t tdt 5 2 sin cos    （应用“凑微分”即可 求出结果）