高等数学1（上）教案第2章导数与微分课次9授课题目82.1导数的概念教学目标：1.理解导数的概念及几何意义2.会求平面曲线的切线和法线3.了解导数的物理意义4.理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念，导数的几何意义教学难点：导数定义的理解，不同形式的掌握教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学内容（注明：*重点#难点（？疑点）教学方式与策略引1．极限的定义比较定义域入2.连续的定义一、 引例引例1变速直线运动的瞬时速度讲设一物体作变速直线运动，其路程函数为S=s(t)，求该物体在t.时刻的瞬时速度．设在t。时刻物体的位置为s(t。).（1）求增量当经过t。+△t时刻获得增量△t时，物体的位置函数s授相应地有增量As=s(t。+△)-s(t)，（如下图)0so) to +A)s新物理意义：As _ s(t+at)-s(t0)(2)求增量比.于是比值就是物体在t。到物体运动的瞬时速度是AtAt路程函数的增量和时间。+△这段时间内的平均速度，记作，的增量之比当时间增量课==(6+)-()即趋于零时的极限，AtAt(3)取极限.当A很小时，可作为物体在t。时刻的瞬时速度的近似值且A越小，v就越接近物体在1。时刻的瞬时速度，即：Ass(to +At)-s(to) limV(to)= lim v= lim40t0A0Vy=f(α)NM福olox2计算机与数学基础教学部杨淑辉31
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 31 - 授课题目 §2.1 导数的概念 课次 9 教学目标：1.理解导数的概念及几何意义 2.会求平面曲线的切线和法线 3.了解导数的物理意义 4.理解函数连续性与可导性之间的关系 教学重点：导数的概念,导数的几何意义 教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 引 入 1. 极限的定义 2. 连续的定义 比较定义域 讲 授 新 课 一、引例 引例 1 变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s = s(t)，求该物体在 0 t 时刻 的瞬时速度．设在 0 t 时刻物体的位置为 0 s(t ) ． （1）求增量．当经过 0 t + Δt 时刻获得增量 Δt 时，物体的位置函数 s 相应地有增量 0 0 Ds = s(t + Dt) - s(t ), （如下图） (2)求增量比．于是比值 ( 0 ) ( 0 ) , s s t t s t t t D + D - = D D 就是物体在 0 t 到 0 t +Δt 这段时间内的平均速度,记作 v ， ( 0 ) ( 0 ) . s s t t s t v t t D + D - = = D D 即 (3)取极限．当 Δt 很小时，v 可作为物体在 0 t 时刻的瞬时速度的近似 值． 且 Δt 越小， v 就越接近物体 在 0 t 时刻的瞬时 速度，即： ( 0 ) ( 0 ) 0 0 0 0 ( ) lim lim lim . t t t s s t t s t v t v t t D Æ D Æ D Æ D + D - = = = D D 物理意义： 物体运动的瞬时速度是 路程函数的增量和时间 的增量之比当时间增量 趋于零时的极限．
高等数学1（上）教案第2章导数与微分引例2平面曲线的切线斜率讲平面曲线的切线几何演示：在曲线C上点M附近，再取一点N，作割线MN，当点N沿曲线C移动而趋向于M时，割线MN的极限位置MT就定义为曲线C在点M处的切线授设函数y=f(x)的图像为曲线C（如上图），函数y=f(x)的图形一般为一条曲线C，确定曲线C在点M(xo，f(x）)处的切线的斜率(1)取增量给x一个增量△x,Ay=f(x+△x)-f(x）新(2)求增量比在M的邻近取一点N(x+Ar,y+Ay)，则割线MN的斜率为几何意义：Ayf(x +Ar)-f(x)曲线y=f(x)在点AxAx课M。处的纵坐标y的(3)取极限.当点N沿曲线C趋向于M，割线MN的极限位置称为曲线C在M点的切线．因此，切线的斜率为增量△y与横坐标xAyf(x +Ax)-f(xo)的增量△x之比，当limtanα=limAr→0 △xAr→0AxAx→0时的极限即二、导数的定义为曲线在M。点处的定义1设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义，当自变量x在x处切线斜率.取得增量△x（点x+△x仍在该邻域）时，相应地函数y取得增量提问：两个引例有哪些Ay=f(x+Ax）-f(x），如果极限共同之处？= lim ( +Ax)-()limAr→0△rAr-→0Ax存在，则称函数y=f(x)在x点处可导，极限值称为函数y=f(x)在xo点处的导数，记为f（x），即f(x +Ax)- f(xo)Ay= lim导数定义的本f'(x) = limAx-0Ax-Ax-0Ax质是增量比的极限，dy反过来，导数的定义或函数y=f(x)在x点处的导数也可记为ylx=x，(x)Ix=xdxlrex也是求极限的一种方法df(x)讲dx令x=x+△x，则当Ax→0时，x→x，导数可表示为授I(x0)= lim (x)-f(x0)-→XoX-xof(xo+h)-f(xo)如果记Ar=h，导数也可表示为f（x）=limh新函数f(x)在x点处可导也可以说成函数f(x)在x。点处导数存在或具有导数.计算机与数学基础教学部杨淑辉- 32 -
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 32 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 讲 授 新 课 讲 授 新 引例 2 平面曲线的切线斜率 平面曲线的切线几何演示：在曲线C 上点 M 附近，再取一点 N ,作割线 MN ，当点 N 沿曲线C 移动而趋向于M 时，割线MN 的极限位置MT 就定 义为曲线C 在点 M 处的切线． 设函数 y = f (x) 的图像为曲线C （如上图），函数 y = f (x) 的图形一般 为一条曲线C ，确定曲线C 在点 0 0 M (x , f (x )) 处的切线的斜率． (1)取增量．给 0 x 一个增量Dx , 0 0 Dy = f (x + Dx) - f (x ); (2)求增量比．在 M 的邻近取一点 0 0 N(x + Dx, y + Dy ) ，则割线 MN 的 斜率为 0 0 y f (x x) f (x ) x x D D D D + - = (3)取极限． 当点 N 沿曲线C 趋向于M ， 割线 MN 的极限位置称为曲线C 在 M 点的切线．因此，切线的斜率为 ( 0 ) 0 Δ 0 Δ 0 Δ Δ ( ) tan lim lim x Δ x Δ y f x x f x Æ x Æ x + - a = = ． 二、导数的定义 定义 1 设函数 y = f (x )在 0 x 的某邻域内有定义，当自变量 x 在 0 x 处 取得增量 D x （点 0 x + Dx 仍在该邻域）时，相应地函数 y 取得增量 0 0 Dy = f (x + Dx) - f (x ) ，如果极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x D Æ x D Æ x D + D - = D D 存在， 则称函数 y = f (x )在 0 x 点处可导， 极限值称为函数 y = f (x )在 0 x 点处的导数，记为 ( ) 0 f ¢ x ，即 x f x x f x x y f x x x D + D - = D D ¢ = D Æ D Æ ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 ． 函数 y = f (x )在 0 x 点处的导数也可记为 0 |x x y = ¢ ， 0 ( ) | , x x f x = ¢ 0 x x dx dy = 或 0 ( ) x x dx df x = ． 令 0 x = x + Dx ，则当Dx Æ 0 时， 0 x Æ x ，导数可表示为 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x - - ¢ = Æ ． 如果记D x = h ，导数也可表示为 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + - ¢ = Æ ． 函数 f (x ) 在 0 x 点处可导也可以说成函数 f (x ) 在 0 x 点处导数存在或具 有导数． 几何意义： 曲 线 y = f (x) 在 点 M0 处的纵坐标 y 的 增量 Δy 与横坐标 x 的增量 Δx 之比， 当 Dx Æ 0 时的极限即 为曲线在 M0 点处的 切线斜率． 提问：两个引例有哪些 共同之处？ 导数定义的本 质是增量比的极限， 反过来， 导数的定义 也是求极限的一种 方法
高等数学1（上）教案第2章导数与微分如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，则说函数f(x)在开区间（a,b)内可导，即对任何xE（a,b)，有课f(x+Ax)-f(x)f'(x)= lim Ar→0Ax这样对于开区间（α,b)内的每一个确定的x都对应着一个确定的导数f(x)，这就构成了一个新的函数，我们称之为导函数（简称为f(x)的导dy或df(x)数）记作f(x)，ydxdxf(x）为导函数f(x)当x=x时的函数值，即f'(xo)= f(x)/xo :f(x -3△x)-f(x)例1设(x）存在,求极限limArYE例2求函数f(x)=C（C是常数）的导数.例3求函数f(x)=x"（nEN+）在x=a处的导数讲推广可得（x"）=nx"-l更一般地，有（x"）=xμ-（μ为实数）11例4求函数f(x)=x2的导数。例5求函数f(x)=二的导数.x授例 6求函数f(x)=sin x的导数。(cosx)=-sin x.例7求函数f(x)=α（a>0,a1）的导数例8求函数f(x)=lnx的导数定义2如果y=f(x)在(x。-8,x]有定义，若左极限新lim (o + Ar)- ()特别的AxAr0*(er)'=e*.存在，则称函数f(x)在x左侧可导，并把上述左极限称为函数f(x)在课x。的左导数，记作f'(x），即f(xo +Ax)- f(xo)'(xo)= limAx11-0类似地可以定义函数f(x）在x的右侧可导及右导数f(x +Ax)- f(xo)J(xo)= lim AxAx>0由极限存在的条件，我们有性质1函数f(x)在x可导的充分必要条件是在x。的左、右导数都存在并且相等，即f(x)=f(xo）由单侧导数可以定义函数在闭区间[a,bl上可导：如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且在a点的右导数存在，在b点的左导数存在，则称函数在闭区间[a,b]上可导.计算机与数学基础教学部杨淑辉33
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 33 - 课 讲 授 新 课 如果函数 y = f (x )在开区间(a,b )内的每一点都可导，则说函数 f (x ) 在 开区间(a,b )内可导，即对任何 x Œ (a,b )，有 x f x x f x f x x D + D - ¢ = D Æ ( ) ( ) ( ) lim 0 ． 这样对于开区间 (a,b ) 内的每一个确定的 x 都对应着一个确定的导数 f ¢(x ) ，这就构成了一个新的函数，我们称之为导函数（简称为 f (x ) 的导 数） ．记作 f ¢(x ) ， y¢， dy dx 或 df (x ) dx ． 0 f ¢(x ) 为导函数 f ¢(x ) 当 0 x = x 时的函数值，即 0 ( ) ( ) | 0 x x f x f x = ¢ = ¢ ． 例 1 设 0 f ¢(x ) 存在,求极限 0 0 0 ( 3 ) ( ) lim x f x x f x D Æ x - D - D ． 例 2 求函数 f (x) = C (C 是常数）的导数． 例 3 求函数 n f (x ) = x （ + n Œ N ）在 x = a 处的导数． 推广可得 1 ( ) - ¢ = n n x nx ． 更一般地，有 1 ( ) - ¢ = m m x mx （m 为实数） ． 例 4 求函数 1 2 f (x) = x 的导数．例 5 求函数 1 f (x ) x = 的导数． 例 6 求函数 f (x ) = sin x 的导数． (cos x)¢ = -sin x ． 例 7 求函数 x f (x ) = a （a > 0, a ¹1 ）的导数． 例 8 求函数 f (x) = ln x 的导数. 定义 2 如果 y = f (x )在( , ] 0 0 x -d x 有定义,若左极限 x f x x f x x D + D - Æ - D ( ) ( ) lim 0 0 0 存在,则称函数 f (x ) 在 0 x 左侧可导,并把上述左极限称为函数 f (x ) 在 0 x 的左导数,记作 ( ) 0 f x - ¢ ,即 ( ) 0 f x - ¢ = x f x x f x x D + D - Æ - D ( ) ( ) lim 0 0 0 ． 类似地可以定义函数 f (x ) 在 0 x 的右侧可导及右导数 ( ) 0 f x + ¢ = x f x x f x x D + D - Æ + D ( ) ( ) lim 0 0 0 ． 由极限存在的条件，我们有 性质 1 函数 f (x ) 在 0 x 可导的充分必要条件是在 0 x 的左、右导数都存 在并且相等，即 ( ) 0 f x - ¢ = ( ) 0 f x + ¢ ． 由单侧导数可以定义函数在闭区间[a,b ]上可导．如果函数 f (x ) 在开区 间(a,b )内可导，且在a 点的右导数存在，在b 点的左导数存在，则称函数在 闭区间[a,b ]上可导． 特 别 的 , x x (e )¢ = e ．
高等数学1（上）教案第2章导数与微分例9讨论函数f(x)=x|在x=0处的可导性x2+xx≤1例10设函数f(x)=判别f(x)在x=1处是否可导2x3x>1可到可导必连续，连续三、函数可导与连续的关系却不一定可导。讲函数y=f(x)在点x处连续是指lim[f(x)-f(x))=0函数y= (s)在点x处可导是指Ilim ()-/()存在.授X-XoAy设函数y=f(x)在点x处可导，即limf"(x)存在．由具有极限的Ar-0 △x新=()+α，其中α当Ax→0时为无穷函数与无穷小的关系知道，Ax小。上式两边同乘以Ax，得Ay=f(x)Ax+αAx：由此可见，当△r→0时，课Ay→0.这就是说，函数y=f(x)在点x处是连续的.定理1如果函数y=f(x)在点x。处可导，则函数y=f(x)在点x处连续；反之不真，例如，函数f(x）=x在x=0处连续但不可导，函数在某点处连续是在该点可导的必要条件，2但不是充分条件.x≤1例11a,b为何值时，函数f(x)=1+x2在x=1处可导ax-b x>l四、导数的几何意义如果函数y=f(x)在x点处可导，则f(x)-f(xo)f(x)=k= tanα= lim =→30X-Xo切线方程为y-y=f(x)(x-x）.1法线方程为y-=(x-xo)f'(xo)在点（2)处的切线和法线的方程例12求曲线y=2x练x≤1X,讨论函数f(x在x=1处的可导性与连续性习2-x，5x>1．导数的实质：增量比的极限小2.函数f(x)在x。可导的充分必要条件是在x的左、右导数都存在并且相等，即f"(x）=f'(x。）结3.导数的几何意义：切线的斜率，4.连续与可导的关系作习题2-2,4,5业教学反思计算机与数学基础教学部杨淑辉- 34 -
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 34 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 讲 授 新 课 例 9 讨论函数 f (x ) =| x | 在 x = 0处的可导性 例 10 设函数 2 3 1 ( ) 2 1 x x x f x x x Ï + £ = Ì Ó > ，判别 f (x ) 在 x = 1处是否可导. 三、函数可导与连续的关系 函数 y = f (x )在点 0 x 处连续是指 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x x f x f x Æ - = ． 函数 y = f (x )在点 0 x 处可导是指 0 0 0 ( ) ( ) limx x f x f x Æ x x - - 存在． 设函数 y = f (x )在点 x 处可导，即 f (x ) x y x = ¢ D D D Æ0 lim 存在．由具有极限的 函数与无穷小的关系知道， = ¢ ( ) + a D D f x x y ，其中a 当 Dx Æ 0 时为无穷 小．上式两边同乘以D x ，得 Dy = f ¢(x )Dx +aDx ．由此可见，当Dx Æ 0 时， Dy Æ 0．这就是说，函数 y = f (x )在点 x 处是连续的． 定理 1 如果函数 y = f (x )在点 0 x 处可导，则函数 y = f (x )在点 0 x 处 连续;反之不真． 例如，函数 f (x ) =| x | 在 x = 0处连续但不可导． 例 11 a,b 为何值时，函数 2 2 1 ( ) 1 1 x f x x ax b x Ï Ô £ = Ì + Ô Ó - > 在 x = 1处可导． 四、导数的几何意义 如果函数 y = f (x )在 0 x 点处可导，则 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) tan limx x f x f x f x k x x a Æ - ¢ = = = - ． 切线方程为 ( )( ) 0 0 0 y - y = f ¢ x x - x ． 法线方程为 ( ) ( ) 1 0 0 0 x x f x y y - ¢ - = - ． 例 12 求曲线 1 y x = 在点 1 ( , 2) 2 处的切线和法线的方程． 可到可导必连续．连续 却不一定可导． 函数在某点处连续是在 该点可导的必要条件， 但不是充分条件． 练 习 讨论函数 ( ) Ó Ì Ï - > £ = 2 1 1 x x x x f x ， ， 在 x = 1处的可导性与连续性． 小 结 1．导数的实质：增量比的极限． 2．函数 f (x ) 在 0 x 可导的充分必要条件是在 0 x 的左、 右导数都存在并且相等， 即 ( ) 0 f x - ¢ = ( ) 0 f x + ¢ ． 3．导数的几何意义：切线的斜率． 4．连续与可导的关系． 作 业 习题 22,4,5. 教 学 反 思
高等数学1（上）教案第2章导数与微分课次10授课题目S2.2求导法则与导数公式教学目标：1.掌握导数的四则运算法则2.掌握基本初等函数的求导公式3.掌握复合函数的求导法则4.会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，复合函数求导方法教学难点：反函数求导方法教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学方式与策略教学内容（注明：*重点#难点？疑点）复习思考：函数的导数是否极限的四则运算法则是什么？引有相同的运算法则呢？入函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数，则(1) [u(x)±v(x)]'=u'(x)±v(x) ;(2) [u(x)v(x)' = u'(x)v(x) +u(x)v(x) ;(3) [“(]=“()()-()()(v(x)±0)v2(x)v(x)u(x+ Ax)v(x+ Ax)-u(x)v(x)证明：(2)[u(x)v(x)"= lim Ar-→0Ax讲u(x+Ar)v(x+ Ax)-u(x)v(x+Ax)+u(x)(x+Axr)-u(x)v(x)= limAr→0Ar[u(x + Ax)v(x + Ax) - u(x)v(x + Ax) + u(x)v(x + Ax) - u(x)v(x)= lim [Ar→0AxrAx授[(x+Ax)-u(x)(x+A) + lim u(x)[v(x+Ax)-v(x)]-limArAr→0Ax→0Ar= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)例1设y=tanx，求y.新例2设=secx，求」(x)及f()类似可得(cotx)"=-csc"x,(cscx)'=-cscxcotx课例3设y=x-2x2+sinx，求y.计算机与数学基础教学部杨淑辉35-
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 35 - 授课题目 §2.2 求导法则与导数公式 课次 10 教学目标：1.掌握导数的四则运算法则 2.掌握基本初等函数的求导公式 3.掌握复合函数的求导法则 4.会求反函数的导数 教学重点：导数的四则运算法则，复合函数求导方法 教学难点：反函数求导方法 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 极限的四则运算法则是什么？ 思考：函数的导数是否 有相同的运算法则呢？ 讲 授 新 课 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1 如果函数u = u (x )及v = v (x ) 都在点 x 具有导数，则 (1) [u(x ) ± v (x )]¢ = u ¢(x ) ± v ¢(x ) ； (2) [u(x )v (x )]¢ = u ¢(x )v (x ) + u (x )v ¢(x ) ； (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ 2 v x u x v x u x v x v x u x ¢ - ¢ = ( v(x ) ¹ 0 )． 证明：(2) x u x x v x x u x v x u x v x x D + D + D - ¢ = D Æ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim [ ( ) ( )] ( ) lim ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 u x v x u x v x x u x v x x v x x u x x u x v x x x u x v x x u x v x x u x x v x x u x v x x x u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x x x x x = ¢ + ¢ D + D - + D + D - + D = D + D - + D + D + D - + D = D + D + D - + D + + D - = D Æ D Æ D Æ D Æ 例 1 设 y = tan x ，求 y¢ ． 例 2 设 y = sec x ，求 f ¢(x ) 及 ) 2 (p f ¢ ． 类似可得 x x 2 (cot )¢ = -csc ，(csc x)¢ = -csc x cot x 例 3 设 3 2 y = x - 2x + sin x ，求 y¢ ．