综上所述,即知对于任意ε>0,存在δ>0,当0<x-a<δ时, g(ro)lf(x)-f(*o) A+(x0)-4g( x < g(x) g(x)8(x)-g(o) g(x) <2E+E=3E, 所以 f'(x) lim A= lim x→)a+g(x 2) x>a+g( 证毕 以上结论在x→a±、x→a或x→∞(包括+∞和-∞)时都是成立 的
综上所述，即知对于任意 ε > 0 ，存在 δ > 0，当 0 < x a − < δ 时， A xg xf − )( )( )( )()( )()( )()( )( )( 1 0 0 0 0 0 xg xAgxf A xgxg xfxf xg xg − +− − − ⋅−≤ < 2 3 ε + = ε ε ， 所以 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a ( ) f x g x A f x → + → + g x = = ′ ′ 。 证毕 以上结论在 x → a ± 、 x → a 或 x → ∞（包括+∞和-∞）时都是成立 的
例5.2.1求1m1=o92x x→ 解这是型。 因为 (1-cos 2x) 2sin x cos x →2(x→>0),由 L'Hospital法则,就 x x 可以得到 2x m x→)0 x 一般可以写成如下格式 1-coS 2x(1-cos 2x) Im Im →0 x Flin 2 cosim Sinx. lim cosx=2 x→0 x→0 x
例5.2.1 求 2 0 2cos1 lim x x x − → 。 解 这是 0 0 型。 因为 2 cossin2 )( )2cos1( 2 = → ′ − ′ x xx x x （ x → 0 ），由L'Hospital法则，就 可以得到 2 2cos1 lim 2 0 = − → x x x 。 一般可以写成如下格式： 2 2 0 0 0 0 0 1 cos 2 (1 cos 2 ) lim lim ( ) 2sin cos sin lim 2lim lim cos 2. x x x x x x x x x xx x x x x → → → → → − − ′ = ′ = = ⋅=
arctan 例5.2.2求lim x→+0 Sin- x 解由 L'Hospital法则得, arctan lin 1+x Im x→+00 x→+∞ sIn cOS Im x→+∞1+x lim cos x→+0 x
例5.2.2 求 π arctan 2 lim 1 sin x x x →+∞ − 。 解 由L'Hospital法则得， π arctan 2 lim 1 sin x x x →+∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = +∞→ 2 2 11 cos 1 1 lim x x x x .1 1 lim 1 coslim 1 2 2 = + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = +∞→ +∞→ x x x x x