标。当对应的系数行列式为0时，三平面有7中位置关系：方程组有一个平面的解时，三个 平面重合：方程组有一条直线的解时，或者三个钟有两个重合并与另一个平面相交，或者三 个平面交于一条直线：当方程组无解时，或者三个平面两量平行或者有两个平面平行且与另 一个平面相交，或者有两个平面重合且与另一个平面平行，或者三个平面两两相交且交线两 两平行。总之，三个平面有八种位置关系。 方程组(12)的解的情况分为： 方程组(12)有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。 方程组(12)有唯一解的充分必要条件是它的系数矩阵为满秩矩阵。 方程组(12)有无数个解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵的秩都是1或都是2。 注2：三元一次齐次方程组的几何意义：设Ax+By+C:=0,i=1,2,3(*)是关于x,y,: 三元一次齐次方程组。几何上，它表示的三个平面交于原点。逆否命题是：(*)有非零解的 充分必要条件是它的系数行列式等于0。几何上，(*)表示的三个经过原点平面或者都重合， 此时有一个平面的解，或者是三个平面交于经过原点的一条直线，此时方程组(*)有一个 直线的解，或者三个平面中有两个重合并与另一个平面相交，此时方程组(*)也有一个直 线的解。当三个平面两两相交时，(*)的几何意义是：三个平面交于经过原点的一条直线， 直线上的点的坐标都是方程组(*)的解。 作业习题2.1：1(1)，(3)，(5)，2(3)，9,11. §2.2直角坐标系中平面的方程，点到平面的距离 2.2.1直角坐标系中方程的系数的几何意义 法向量：与平面π垂直的非零向量，称为π的法线向量，简称法向量。 Meπ台MM⊥n台Ax-x)+By-%)+C(e-o)=0, (*) 一π的点法式方程或法线式方程。 由()可看出：直角坐标系中方程的系数的几何意义：在直角坐标系中，平面方程的一次 项系数A,B,C是平面的一个法向量，即n={4,B,C}
标。当对应的系数行列式为 0 时，三平面有 7 中位置关系：方程组有一个平面的解时，三个 平面重合；方程组有一条直线的解时，或者三个钟有两个重合并与另一个平面相交，或者三 个平面交于一条直线；当方程组无解时，或者三个平面两量平行或者有两个平面平行且与另 一个平面相交，或者有两个平面重合且与另一个平面平行，或者三个平面两两相交且交线两 两平行。总之，三个平面有八种位置关系。 方程组（12）的解的情况分为： 方程组（12）有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。 方程组（12）有唯一解的充分必要条件是它的系数矩阵为满秩矩阵。 方程组（12）有无数个解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵的秩都是 1 或都是 2 。 注 2: 三元一次齐次方程组的几何意义: 设 0, 1,2,3 A x B y C z i i i i + + = = （＊）是关于 x y z , , 三元一次齐次方程组。几何上，它表示的三个平面交于原点。逆否命题是：（＊）有非零解的 充分必要条件是它的系数行列式等于 0。几何上，（＊）表示的三个经过原点平面或者都重合， 此时有一个平面的解，或者是三个平面交于经过原点的一条直线，此时方程组（＊）有一个 直线的解，或者三个平面中有两个重合并与另一个平面相交，此时方程组（＊）也有一个直 线的解。当三个平面两两相交时，（＊）的几何意义是：三个平面交于经过原点的一条直线， 直线上的点的坐标都是方程组（＊）的解。 作业 习题 2.1: 1（1），（3），（5），2（3），9，11。 §2.2 直角坐标系中平面的方程，点到平面的距离 2.2.1 直角坐标系中方程的系数的几何意义 法向量:与平面 垂直的非零向量 n ，称为 的法线向量，简称法向量。 0 0 0 0 M M M n A x x B y y C z z ⊥ − + − + − = ( ) ( ) ( ) 0， （*） ———— 的点法式方程或法线式方程。 由(*)可看出:直角坐标系中方程的系数的几何意义: 在直角坐标系中，平面方程的一次 项系数 A B C , , 是平面的一个法向量，即 n A B C ={ , , }
2.2.2点到平面的距离 一离差： 定义：设n为自原点O指向平面π的单位矢量，M为空间中一点自M,向元引垂线，垂 足为Q,称QM。在法矢n上的射影 6=QM。·n=gM7cos(QM,m=±2M 为M。与π间的离差。 可见，当M。位于π的n指向的一侧时 6>0,否则8<0。 (图3.2) 命题2.1：若平面π的法式方程为cosc+cos+cos-p=0,则M(x0,%,2o)与元 间的离差6=cosr。+cos+Coso-p. 事实上， cosaxo+cos Byo+cos=o-pMon =(OM-OP)-n°-OMn°-OPn° 命题2.2在直角坐标系中，点P(x,片，)到平面π：Ax++C:+D=0的距离是 d=++Cz+D +B+C2 证明：作PB1元，垂足(x,%,),则R到平面π的距离是。平面π的一个法向量 A,B,C),由于BF∥n,所以d=B
2.2.2 点到平面的距离 一 离差： 定义：设 n 为自原点 O 指向平面 的单位矢量， M0 为空间中一点，自 M0 向 引垂线，垂 足为 Q ，称 QM 0 在法矢 n 上的射影 0 0 0 0 = • = = QM n QM n QM n QM cos ， ， 为 M0 与 间的离差。 可见，当 M0 位于 的 n 指向的一侧时 0 ，否则 0。 (图 3.2) 命题 2.1：若平面 的法式方程为 cosx + cos y + cosz − p = 0 ，则 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 与 间的离差 = cosx0 + cos y0 + cosz0 − p 。 事实上， 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos cos cos ( ) . x y z pP M n OM OP n OM n OP n = + + − = − = − 命题 2.2 在直角坐标系中，点 1 1 1 1 P x y z ( , , ) 到平面 : 0 Ax By Cz D + + + = 的距离是 1 1 1 2 2 2 Ax By Cz D d A B C + + + = + + 。 证明：作 PP1 0 ⊥ ，垂足 0 0 0 0 P x y z ( , , ) ，则 P1 到平面 的距离是。平面 的一个法向量 n A B C ( , , ) ，由于 PP0 1 ∥ n ，所以 0 1 d P P = x y z O P Q M0 0 n q 0 r