法2.由距离公式得。动点 M(x,y,)∈π台AM=BM 白Vx-1)2+y-2)2+(e-3)2=Vx-2)2+0y+1)2+(e-4)2 台2x-6y+2:-7=0. 例3：在空间仿射坐标系下，求过点4A(2,-1,1),B(3,-2,1),并且平行于：轴的平面的方程。 解：法1.用平面方程的点位式求，取方位向量a=AB=(1,-1,0),a=(0,0,),又平面经过 点4(2，-1,1)，B(3,-2,1),则平面方程的点位式得 x-2y+1z-1 1-10=0x+y-1=0 001 法2.用平面方程的点位式求，设平行于：轴的平面的方程为π：A红++C:+D=0。因 为解面点2-n2.质P48=-0,代于 面的方程得x+y-1=0。 法3.用平面方程的点法式求，取平面的法向量为n=a×=1，-1,0)×(0,0,1)=(-1，-1,0)， 因为平面过点4(2，-1,1)，B(3,-2,1),所以由平面方程的点法式得 (x-2)-0y+)=0或-(x-3)-0y+2)=0→x+y-1=0. 法4.用平面方程的一般方程求，设所求过点4A(2,-1,),B(3,-2,1)得平面方程为 π：A(x-2)+By+1)+C(2-1)=0. 这是过A点的平面束方程。又xoy坐标平面的方程为：=0，由题设条件知平面π与x0y坐 标平面垂直，所以e3=(A,B,C)(0,0,1)=C=0。又因为B(3,-2,1)也在平面π上，所以 A-B=0,从而得A=B,C=0。故所求平面的方程得x+y-1=0。 注2：三维向量空间R中经过原点的平面π都是R的二维线性子空间：反之，R的二维线 性子空间都是经过原点的平面。令集合π={(x,y,r+y)k,y∈R;,它是三维向量空间R 的子集，可以证明它也是R的线性子空间：对于任意的一个实数入以及任意两个元素
法 2. 由距离公式得。动点 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 2) ( 1) ( 4) 2 6 2 7 0. M x y z AM BM x y z x y z xyz = − + − + − = − + + + − − + − = 例 3：在空间仿射坐标系下，求过点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − ，并且平行于 z 轴的平面的方程。 解：法 1. 用平面方程的点位式求，取方位向量 a AB a = = − = (1, 1,0), (0,0,1) ，又平面经过 点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − ，则平面方程的点位式得 2 1 1 1 1 0 0 1 0. 0 0 1 x y z x y − + − − = + − = 法 2. 用平面方程的点位式求，设平行于 z 轴的平面的方程为 : 0 Ax By Cz D + + + = 。因 为平面过点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − ，所以 2 0 , 3 2 0 A B D A B D − + = − + = 解得 A B D = = − ，代入所求平 面的方程得 x y + − =1 0 。 法 3. 用平面方程的点法式求，取平面的法向量为 n a b = = − = − − (1, 1,0) (0,0,1) ( 1, 1,0), 因为平面过点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − ，所以由平面方程的点法式得 − − − + = − − − + = + − = ( 2) ( 1) 0 ( 3) ( 2) 0 1 0. x y x y x y 或 法 4. 用平面方程的一般方程求，设所求过点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − 得平面方程为 : ( 2) ( 1) ( 1) 0. A x B y C z − + + + − = 这是过 A 点的平面束方程。又 xoy 坐标平面的方程为 z = 0 ，由题设条件知平面 与 xoy 坐 标平面垂直，所以 n e A B C C 3 = = = ( , , ) (0,0,1) 0 。又因为 B(3, 2,1) − 也在平面 上，所以 A B− = 0 ，从而得 A B C = = , 0 。故所求平面的方程得 x y + − =1 0 。 注 2：三维向量空间 3 R 中经过原点的平面 都是 3 R 的二维线性子空间；反之， 3 R 的二维线 性子空间都是经过原点的平面。令集合 = + {( , , ) , } x y ax by x y R ，它是三维向量空间 3 R 的子集，可以证明它也是 3 R 的线性子空间：对于任意的一个实数 以及任意两个元素
a=(x,片，a1+by)∈π，B=(x,3+b2)∈π 因为 a=(2xy,a1x+b2y)∈π，a+B=(x+x2,片+2，a(x+x2)+by+y2)》∈π， 所以集合π是R的线性子空间。在几何上，子空间π中点就是经过原点的平面：=瓜+y上 的点。由此可得，三维向量空间R中经过原点的平面π都是R的二维线性子空间：反之，R 的二维线性子空间都是经过原点的平面。 注3：任何一个经过原点的平面方程：=+by都是二元线性函数：反之也成立。 设∫：R2→R是二维向量空间R到一维向量空间R的映射，即∫是二元实值函数，由高等 代数知，若对任意的实数，乙及向量a1,a2∈R2，有 f2a1+1,a2)=1f(a)+2f(a2) 则称∫是二元线性函数。有以下定理： 定理：∫是二元线性函数的充分必要条件是对于任意的向量a=xe+ye2∈R2，有 f(@回=ar+y,其中ei,e:是R2的一组基，而(x,)是向量a关于这组基的坐标， a=f(e),b=f(e)。特别是当e1=(L,0),e=(0,)时，a=(x,y)=xe+ye2eR2。 证明：必要性。对于任意的向量a=xe1+ye2∈R,因为∫是二元线性函数，所以 f(a)=f(xen+ye2)=xf(ei)+yf(e2)ax+byo 充分性。任取1∈R, a=(,)eR,a2=(3,乃2)eR2, a1+a2=(x+x2,+乃2)eR2,a=(x,y)eR2, 所以∫是二元线性函数。经过原点的平面：=ax+by的方程，可以写成映射∫：R2→R, f(x,y》=ar+by,这就是二元线性函数的表达式，所以二元线性函数的几何意义是：它 是空间中经过原点的平面。反之，任何一个经过原点的平面方程：=r+y都是二元线性函 数，而其他不经过原点的平面方程：=a+y+c(C≠0)都不是二元线性函数
1 1 1 1 2 2 2 2 = + = + ( , , ) , ( , , ) , x y ax by x y ax b 因为 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 = + + = + + + + + ( , , ) , ( , , ( ) ( )) , x y a x b y x x y y a x x b y y 所以集合 是 3 R 的线性子空间。在几何上，子空间 中点就是经过原点的平面 z ax by = + 上 的点。由此可得，三维向量空间 3 R 中经过原点的平面 都是 3 R 的二维线性子空间；反之， 3 R 的二维线性子空间都是经过原点的平面。 注 3：任何一个经过原点的平面方程 z ax by = + 都是二元线性函数；反之也成立。 设 2 f R R : → 是二维向量空间 2 R 到一维向量空间 R 的映射，即 f 是二元实值函数，由高等 代数知，若对任意的实数 1 2 , 及向量 2 1 2 , R ，有 1 2 1 2 1 2 1 2 f f f ( ) ( ) ( ) + = + ， 则称 f 是二元线性函数。有以下定理： 定理： f 是二元线性函数的充分必要条件是对于任意的向量 2 = + xe ye R 1 2 ，有 f ax by ( ) = + ，其中 e e 1 2 , 是 2 R 的一组基，而 ( , ) x y 是向量 关于这组基的坐标， a f e b f e = = ( ), ( ) 1 2 。特别是当 e e 1 2 = = (1,0), (0,1) 时， 2 = = + ( , ) x y xe ye R 1 2 。 证明：必要性。对于任意的向量 2 = + xe ye R 1 2 ，因为 f 是二元线性函数，所以 f f xe ye xf e yf e ax by ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + + 1 2 1 2 。 充分性。任取 R ， 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , x y R x y R x x y y R x y R = = + = + + = 所以 f 是二元线性函数。经过原点的平面 z ax by = + 的方程，可以写成映射 2 f R R : → ， f x y ax by (( , )) = + ，这就是二元线性函数的表达式，所以二元线性函数的几何意义是：它 是空间中经过原点的平面。反之，任何一个经过原点的平面方程 z ax by = + 都是二元线性函 数，而其他不经过原点的平面方程 z ax by c c = + + ( 0) 都不是二元线性函数
同理可得，一元线性函数的表达式是y=瓜，这是平面上经过原点的直线的方程，所以 一元线性函数都是平面上经过原点的直线，而一次函数y=+b(b≠0)不是平面上经过原 点的直线。总之，空间R中经过原点的平面π既是R的二维线性子空间又是二维向量空间 R上的二元线性函数：平面R上经过原点的直线既是二维向量空间R的一维线性子空间， 又是向量空间R上的一元线性函数。 2.1.2两平面的相关位置 定理2.1.3取定一个仿射坐标系，设平面π1，π2的方程分别为： Ax+By+C=+D=0 (10) Ax+B2y+C2+D2=0. 则 (1)π，与π相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例： (2)π与π，平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项不与这些系 数成比例： (3)西与π2重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例。 证明：充分性（必要条件）。 (1)设平面π，π2的方程中一次项系数不成比例，则向量=(4，B,C),a2=(4,B,C) a收8及慢o,南0特 Ax+By+D=0, (11 Ax+B3y+D=0. 由于该方程组(11)的系数行列式不为0，所以(11)有唯一解(x,%)。于是(x,%,0)是(10) 的一解，则元1与π2有公共点，并且第三个坐标为0的公共点只有一个(x。,0)。可以取 到点(3，片，0)，x≠0，片≠%是元上的点，但不是π2上的点，所以π1与π2相交。 (2)由已知条件得，存在一个实数入≠0，使得
同理可得，一元线性函数的表达式是 y ax = ，这是平面上经过原点的直线的方程，所以 一元线性函数都是平面上经过原点的直线，而一次函数 y ax b b = + ( 0) 不是平面上经过原 点的直线。总之，空间 3 R 中经过原点的平面 既是 3 R 的二维线性子空间又是二维向量空间 2 R 上的二元线性函数；平面 2 R 上经过原点的直线既是二维向量空间 2 R 的一维线性子空间， 又是向量空间 R 上的一元线性函数。 2.1.2 两平面的相关位置 定理 2.1.3 取定一个仿射坐标系，设平面 1 2 , 的方程分别为： 1 1 1 1 2 2 2 2 0; 0. A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = (10) 则 （1） 1 与 2 相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例； （2） 1 与 2 平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项不与这些系 数成比例； （3） 1 与 2 重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例。 证明: 充分性(必要条件)。 (1) 设平面 1 2 , 的方程中一次项系数不成比例，则向量 1 2 1 1 1 2 2 2 = = ( , , ), ( , , ) A B C A B C 不共线，由定理 1.4 知 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , , A B A C B C A B A C B C 不全为 0 。 在(10)中，令 z = 0，得 1 1 1 2 2 2 0; 0. A x B y D A x B y D + + = + + = (11) 由于该方程组(11)的系数行列式不为 0 ，所以(11)有唯一解 0 0 ( , ) x y 。于是 0 0 ( , ,0) x y 是(10) 的一解，则 1 与 2 有公共点，并且第三个坐标为 0 的公共点只有一个 0 0 ( , ,0) x y 。可以取 到点 1 1 1 0 1 0 ( , ,0), , x y x x y y 是 1 上的点，但不是 2 上的点，所以 1 与 2 相交。 （2） 由已知条件得，存在一个实数 0 ，使得
A=14,B2=B,C2=2C,D23≠D 于是(10)变为4r+By+C:+D=0 {4x+By+C:+%=0因为D≠H,所以该方程组无解即元与 平行。 (3)由已知条件得，存在一个实数入≠0，使得A,=1A,B,=元B,C,=C,D2=D。 于是(10)变为4r+By+C+D=0 4x+By+C=+D,)=0显然两个方程同解，即石与，重合。 注1：定理2.1.3类似于平面解析几何中两条直线的有关位置的判定。在平面直角坐标系下， 设两条直线的方程分别为L,:4x+By+C,=0,i=1,2,则 注1：在平面直角坐标系下，设两条直线的方程分别为 L:Ax+By+C,=0,i=1,2, (1)两条直线L与L2相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例，即 4:4≠B:B: (2)两条直线L与L2平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项 不与这些系数成比例，即4= A B.C2 (3)两条直线L与L,重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例，即 A B C 4B.C. 此外有两条直线L与L,垂直的充分必要条件是AA,+BB,=0。 注2：设平面π，严2的方程分别为： π：Ax+By+Cz+D=0,π2：Ax+B+C+D,=0, 则当D≠D,时，两平面元，元，平行，它们之间的距离为d= F+B+C·当D取-切 D-D
2 1 2 1 2 1 2 1 A A B B C C D D = = = , , , 。 于是（10）变为 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 D A x B y C z D A x B y C z + + + = + + + = 。因为 2 1 D D ，所以该方程组无解，即 1 与 2 平行。 （3）由已知条件得，存在一个实数 0 ，使得 2 1 2 1 2 1 2 1 A A B B C C D D = = = = , , , 。 于是（10）变为 1 1 1 1 1 1 1 2 0 ( ) 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = 。显然两个方程同解，即 1 与 2 重合。 注 1：定理 2.1.3 类似于平面解析几何中两条直线的有关位置的判定。在平面直角坐标系下， 设两条直线的方程分别为 : 0, 1,2 L A x B y C i i i i i + + = = ，则 注 1：在平面直角坐标系下，设两条直线的方程分别为 : 0, 1,2 L A x B y C i i i i i + + = = ， 则 （1） 两条直线 L1 与 L2 相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例，即 1 2 1 2 A A B B : : ； （2） 两条直线 L1 与 L2 平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项 不与这些系数成比例，即 1 1 1 2 2 2 ABC ABC = ； （3） 两条直线 L1 与 L2 重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例，即 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = = 。 此外有两条直线 L1 与 L2 垂直的充分必要条件是 1 2 1 2 A A B B + = 0 。 注 2：设平面 1 2 , 的方程分别为： 1 1 2 2 : 0; : 0, Ax By Cz D Ax By Cz D + + + = + + + = 则当 D D 1 2 时，两平面 1 2 , 平行，它们之间的距离为 1 2 2 2 2 D D d A B C − = + + 。当 D2 取一切
实数时，π2：Ax+By+Cz+D2=0表示与π：Ax+By+Cz+D=0平行的平面束。 例1空间直角坐标系下，已知△4BC的三个顶点4(0，-7,0)，B(2,-1,1),C(2,2,2),求平行 于△4BC所在平面且与它相距为2个单位的π的方程。 解法1。先求△4BC所在平面元，的方程，取其方位向量 ā-AB-(2,610,b=AC-(2,9,2), 所以其法向量n=a×石=(3，-2,6)，又元经过点4(0，-7,0)，由平面方程的点法式得 元，：3x-2y+6z-14=0。因为所求平面与元，平行，所以可设π的方程为 :3x-2y+6z+D=0。 因为点A(0,-7,0)到π的距离为2，即2= +4+36→D=0或D=-28,故所求平面 D+14 方程为π：3x-2y+6z=0或π：3x-2y+6:-28=0。 法2。同上求出△4BC所在平面π1的方程元1：3x-2y+6z-14=0。所求平面是动点 M(，)到π相距为2个单位的轨迹，即2=Bx-2y+6:-14 故所求平面方程为 V9+4+36 π：3x-2V+62=0或π：3x-2V+6:-28=0. 2.1.3三平面恰交于一点的条件 命题1.2.1设三个平面在仿射坐标系中的方程分别为： π，：Ax+By+CF+D=0,i=1,2,3。 (12) 4 B C 则这三平面恰交于一点的条件的充分必要条件是4，B,C≠0。 B3 C3 证明：上述三个平面交于一点等价于方程组(12)有唯一解，从而(12)的系数行列式不等于 0。 注1：当三元一次方程组(12)中x,八，：的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，几何上， 此解是三个平面的交点坐标，初中课本中求三元一次方程组的解就是求空间三个平面交点坐
实数时， 2 2 : 0 Ax By Cz D + + + = 表示与 1 1 : 0 Ax By Cz D + + + = 平行的平面束。 例 1 空间直角坐标系下，已知 ABC 的三个顶点 A B C (0, 7,0), (2, 1,1), (2,2,2) − − ， 求平行 于 ABC 所在平面且与它相距为 2 个单位的 的方程。 解 法 1。先求 ABC 所在平面 1 的方程，取其方位向量 a AB b AC = = = = (2,6,1), (2,9,2) ， 所以其法向量 n a b = = − (3, 2,6) ，又 1 经过点 A(0, 7,0) − ，由平面方程的点法式得 1 :3 2 6 14 0 x y z − + − = 。因为所求平面与 1 平行，所以可设 的方程为 :3 2 6 0 x y z D − + + = 。 因为点 A(0, 7,0) − 到 的距离为 2 ，即 14 2 0 9 4 36 D D + = = + + 或 D =−28 ，故所求平面 方程为 :3 2 6 0 x y z − + = 或 : 3 2 6 28 0 x y z − + − = 。 法 2。同上求出 ABC 所在平面 1 的方程 1 :3 2 6 14 0 x y z − + − = 。所求平面是动点 M x y z ( , , ) 到 相距为 2 个单位的轨迹，即 3 2 6 14 2 9 4 36 x y z − + − = + + ，故所求平面方程为 :3 2 6 0 x y z − + = 或 : 3 2 6 28 0 x y z − + − = 。 2.1.3 三平面恰交于一点的条件 命题 1.2.1 设三个平面在仿射坐标系中的方程分别为: : 0, 1,2,3 i i i i i A x B y C z D i + + + = = 。 （12） 则这三平面恰交于一点的条件的充分必要条件是 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 A B C A B C A B C 。 证明：上述三个平面交于一点等价于方程组（12）有唯一解，从而（12)的系数行列式不等于 0 。 注 1: 当三元一次方程组（12）中 x y z , , 的系数行列式不为 0 时，方程组有唯一解，几何上， 此解是三个平面的交点坐标，初中课本中求三元一次方程组的解就是求空间三个平面交点坐