对应齐次方程通解求方程 y"-3y'+2y= xe2×的通解Y = Ce*+C,e2x2y* = x(Ax+ B)e将y*,J*',*"代入方程,得A=2Ax+B+2A=x2B=-121于是 y*=x(x-原方程通解为y=Y+y*=Ce* +C,e2x +x(x-
代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1 = − = B A x y x x e 2 1) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 = + + x x C e C e 2 1 2 3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 x y x Ax B e 2 = ( + ) 将y, y , y y = Y + y x x x e 2 1) 2 1 ( − 对应齐次方程通解 x x Y C e C e 2 = 1 + 2
考研真题数学一,8分例设函数y=(x)满足微分方程y"-3y'+2y=2e其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合求函数的解析表达式解二阶常系数线性非齐次方程此题f(x)= 2e*属于Pm(x)e型. (m=0,=1)(1)求对应齐次方程的通解特征方程 r2－3r+2=0,特征根r =1, r, =2,2对应齐次方程通解 Y=C,e+C,e
( ) 3 2 2 , x 设函数y = y x 满足微分方程y − y + y = e 其图形在点(0,1)处的切线与曲线y = x 2 − x +1在 该点处的切线重合,求函数y的解析表达式. 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0, 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2， x x Y C e C e 2 = 1 + 2 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 ( ) 2 属 于 ( ) 型. x m x f x e P x e = (m = 0, = 1) 例 考研真题数学一, 8分 二阶常系数线性非齐次方程
设函数y=y(x)满足微分方程y"-3y+2y=2e其图形在点0,1)处的切线与曲线=x2-x+1在该点处的切线重合求函数的解析表达式(2)求非齐次方程的特解a=1特征根r=设y*=xAe(a=l是单根)解得 A=-2即 y*=—2xe*所以原方程通解为 y=Ce*+C,e2x-2xe*(3)求原方程的特解(求函数y的解析表达式)且 y(0)=-1,由y=x2-x+1,得 y'=2x-1,将点(0,1)的坐标代入通解得1=C +C2
设 y = ( = 1是单根) (2) 求非齐次方程的特解 A x x e 1 解得 A = −2 所以 x y = −2xe x x y C e C e 2 = 1 + 2 (3) 求原方程的特解 由y = x 2 − x +1,得 y(0) = −1, 将点(0,1)的坐标代入通解,得 1 = C1 +C2 即 = 1 特征根 r1 = 1 原方程通解为 (求函数y的解析表达式) ( ) 3 2 2 , x 设函数y = y x 满足微分方程y − y + y = e 其图形在点(0,1)处的切线与曲线y = x 2 − x +1在 该点处的切线重合,求函数y的解析表达式. 且 x − 2xe y x = − 2 1
1=C, +C2y(0) = -1求导,得将通解y=Ce*+C,e2x-2xey' = Ce* + 2C,e2x - 2e* - 2xe*由题意,得 y(0)=C, +2C, -2=-1即C +2C, =1C +C, =1[C, =1联立将之代入通解得[C, = 0C, +2C =1y=e*-2xe*所以,函数y的解析表达式为 y=(1-2x)e
将通解 y = C1 e x +C2 e 2x − 2xe x 求导,得 x x x x y C e 2C e 2e 2xe 2 = 1 + 2 − − 由题意,得 y(0) = 即 C1 + 2C2 = 1 联立 + = + = 2 1 1 1 2 1 2 C C C C = = 0 1 2 1 C C 将之代入通解得 x x y = e − 2xe x y = (1− 2x)e 1 = C1 +C2 y(0) = −1 C1 + 2C2 − 2 = − 1 所以,函数y的解析表达式为
对应齐次方程通解求方程 y"-3y'+2y= xe2×的通解Y = Ce*+C,e2x2y* = x(Ax+ B)e将y*,J*',*"代入方程,得A=2Ax+B+2A=x2B=-121于是 y*=x(x-原方程通解为y=Y+y*=Ce* +C,e2x +x(x-
代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1 = − = B A x y x x e 2 1) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 = + + x x C e C e 2 1 2 3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 x y x Ax B e 2 = ( + ) 将y, y , y y = Y + y x x x e 2 1) 2 1 ( − 对应齐次方程通解 x x Y C e C e 2 = 1 + 2