第三节定积分的换元法和分部积分法、定积分的换元法、定积分的分部积分法三、小结吉思考题
第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 三、小结 思考题
定积分的换元法定理假设(1）f(x)在[a,b]上连续;(2）函数x=Φ(t)在[α,β]上是单值的且有连续导数;(3）当t 在区间[α,β]上变化时，x=(t)的值在[a,b]上变化，且β(α)=a、(β)=b,则 有f" f(x)dx = f f[p(t)]p'(t)dt
假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； 定理 （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 一、定积分的换元法
分析要证[' f(x)dx = f f[p(t)lp'(t)dt由假设知上式两边的被积函数都是连续的.因此两边的定积分都存在,被积函数的原函数也都存在因此,对上式两边的定积分应用牛顿一莱布尼茨公式,转化为证明两边的原函数的增量相等即可
分析 要 证 f x d x f t t d t b a = ( ) [( )] ( ) 由假设知,上式两边的被积函数都是连续的,因此两 边的定积分都存在,被积函数的原函数也都存在. 因此,对上式两边的定积分应用牛顿—莱布尼茨公 式,转化为证明两边的原函数的增量相等即可
证设F(x)是f(x)的一个原函数[" f(x)dx = F(b) - F(a),: Φ(t) = F[p(t)ldFdxΦ'(t) :f(x)@'(t)=fo(t)lo(t)三dx dt:. Φ(t)是f[(t)l'(t)的一个原函数[ f[β(t)]p'(t)dt = Φ(β) -Φ(α)
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t)= f [(t)](t), [( )]( ) = () − (), f t t dt (t)是 f[(t)](t)的一个原函数
p(α)=a、(β)=b,Φ(β)-(α) = F[β(β)]- F[β(α)I= F(b)- F(a),[f(x)dx = F(b) - F(a) = Φ(β)-@(α)flo(t)lp'(t)dt.注意当α>β时，换元公式仍成立
() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()] = F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt. = 注 意 当 时，换元公式仍成立