第四节一阶线性微分方程 巴一、线性方程 巴二、伯努利方程 巴三、小结思考题
生一、线性方程 阶线性微分方程的标准形式: + P()y=e(x 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)与0,上方程称为非齐次的 例如 dr +x2 d x y = xsint+t2,线性的; t yy-2xy=3,y'-cosy=1,非线性的
P(x) y Q(x) dx dy + = 一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 一、线性方程 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的
阶线性微分方程的解法 y 1.线性齐次方程+P(x)y=0 4(使用分离变量法) dy 牛=-P(x)d,∫ dy y=-」P(x)k, J y 生my=Px)+mC P(x)dx 王齐次方程的通解为y=Ce 上页
+ P(x) y = 0. dx dy P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法)
庄2线性非齐次方程4+P()y=Q(x) 讨论:女=x P(x)dx, J 生两边积分y=-Prx), 设∫b为(x,:h=(x-P(), 即p=ee-n),非齐方程通解形式 与齐方程通解相比:C→以(x) 上页
2. 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐方程通解形式 与齐方程通解相比: C u(x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 新未知函数以(x)→原未知函数y(x), 工工工 作变换y=u(x)e P(x)dx P(x)dx P(x)dx y=u(ce +u(xlp(xle 上页
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u(x) 原未知函数 y(x), 作变换 = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x d x P x d x y u x e u x P x e