第三节齐次方程 一、齐次方程 巴二、可化为齐次的方程 小结思考题
生一、齐次方程 王1.定义形如=()的微分方程称为齐次方程 2解法作变量代换n=",即y=xn, 小y ==u+x 工工工 dx dx 代入原式 u+x,=f(u), d x 即 du f(u)u 可分离变量的方程 上页
一、齐次方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义
压当/00时得_-mcx d x=ceo(u) 9 q(u)= f(u-u 将=”代入,得通解x=c" esc pc 9 工工工 当彐n,使∫(u)-un=0,则u=L是新方程的解 代回原方程,得齐次方程的解y=nx 上页
当 f (u) − u 0时, ln , ( ) C1 x f u u du = − 得 , (u) x Ce 即 = − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce 得通解 = , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x
例1求解微分方程 c (x-ycos)dx+xcos'dy=0 解令n=”,则=xhn+utx, (x-ux cos u)dx+ xcosu(ud+ xdu)=0, dx cos udu==, sinu=Inx+C, 牛微分方程的解为siny=mx+C 上页
例 1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 = − + 解
dx 例2求解微分方程,2 中y r -ry t y 22y = y=xy 2 yy 解 小2y2-xy 29 de x-xy+y yy 1-+ 令n=y,则=xd+ulr, 22-u u+ru= 1-L+L 上页
2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2 − + − = x y x y x y x y , x y 令u = 则dy = xdu + udx, , 1 2 2 2 u u u u u xu − + − + = . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 例 2 求解微分方程 解