第二节可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 四二、典型例题 四三、小结思考题
庄一可分离变量的微分方程 g(y)h=∫(x)d可分离变量的微分方程 生例如=2xyy=2 解法设函数g(y)和∫(x)是连续的, 工工工 g(y)dy=l f(x)dx 分离变量法 设函数G()和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解 王页下
一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. 分离变量法
二、典型例题 例求解微分方程=2x的通解 解分离变量=2xx, 两端积∫2x Iny=x +Cl y=cex为所求通解 上页
例1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2 y = ce x 为所求通解 二、典型例题
生例2求方程(y)y+8()x=0通解 解令Ⅱ=,则Ⅶ=xd+ydx, ∫(u)ydhx+g()x t-ydx≥0, lf(u)-(uld+g(udu=0, dx g(u) x ulf(u-g(u)l du=0, 通解为lmx|+ g(u) nf()-8/d"=C. 上页
例2 求方程 f (xy) ydx + g(xy)xdy = 0 通解. 令u = xy, 则du = xdy + ydx, ( ) ( ) = 0, − + x du ydx f u ydx g u x [ ( ) − ( )] dx + g(u)du = 0, x u f u g u 0, [ ( ) ( )] ( ) = − + du u f u g u g u x dx . [ ( ) ( )] ( ) ln | | du C u f u g u g u x = − + 通解为 解
例3衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成 正比已知M=0=M求衰变过程中铀含量M() 随时间t变化的规律 解衰变懣wM 由题设条件 dM dM =-AM(>0衰变系数) =-入dt dt M 压m丁mM=一+m即M= 上代入M==M得M=ce=C, ∴M=Mne 衰变规律 上页
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀含量M(t) 随时间t 变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM 代入M t=0 = M0 ln M = −t + lnc, , t M ce− 即 = 0 0 得 M = ce = C, t M M e − = 0 衰变规律