湖南工业大学（株洲工学院）：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五节 全微分方程

第五节全微分方程 巴一、全微分方程及其求法 巴二、积分因子法 三、小结思考题

、全微分方程及其求法 1.定义:若有全微分形式 M(xy)=P(x,y)+Q(x,y全微分方程 王则P(xy)+Q(x,y)h=0 或恰当方程 工工工 例如xdx+yz= 0,∵以(x,y)=2(x2+y2) :d(x,n)=xdc+y,所以是全微分方程 全微分方程分 OP 00 ay ax 上页

一、全微分方程及其求法 1.定义: 则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y 全微分方程 或恰当方程 du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P   =   全微分方程

2.解法: 庄P.)+xy)小=0全微分方程 aP 80 应用曲线积分与路径无关 ay ax 通解为以(x,y)=「P(x,y)dx+Q(x,y) T =TO(x, Ddy+S P(x,yo)dx,u(x,D)=C 用直接凑全微分的方法 上页

2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 应用曲线积分与路径无关. x Q y P   =    通解为   = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y  = + u(x, y) = C ; 用直接凑全微分的方法. 全微分方程

例1求方程(x3-3xy2)dx+(y3-3x2y)d=0 的通解. 王解即=6=2,是全徽分方程 中(x,y)=(x2-3y)dx+∫yhd x 3 J 4y+ 9 4 3 原方程的通解为 22 2 C 上页

. ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P   = − =   是全微分方程,   = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1

2 例2求方程d+ 3x J小=0的通解 aP 6x 80 解ay ax ,是全微分方程, 2 将左端重新组合2d+ 2x 3x dx-4 dy) 2 =d(-)+d(3)= d(-1+x 3), 2 原方程的通解为_+ =C 3 J 上页

0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P   = − =   是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为− + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例2