《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）2-2 静态电磁场求解

（1）在球坐标系中如果在考察的空间内没有电荷分布，电势满足Laplase方程?β=0它可以用分离变量法求解。在球坐标下aa11apapdsin 0V0=r2 OrOr00? sin?0 g?sin00Vb.其解为 (R,0,d)=>R"Pm (cos0)cos mpaRn+Inn(n, m=0,1, 2,...)n,mZRP"(cos0)sin mp+nmRn+1n,mPm(cosの）为缔合勒让德（Legendre）函数。静电场问题变为根据边值关系确定式中待定系数的问题。2-11

2-11 如果在考察的空间内没有电荷分布，电势满足Laplase方程 0 2   = 它可以用分离变量法求解。在球坐标下 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1              +           +           = r r r r r r 其解为 ( ) ( )  ( )        + +       = + + + n m m n n n n m n m n m m n n n n m n m P m R d C R P m R b R a R , 1 , 1 cos sin , , cos cos        (n, m＝0,1, 2,.) (cos ) m Pn 为缔合勒让德（Legendre）函数。 静电场问题变为根据边值关系确定式中待定系数的问题。 （1）在球坐标系中

n轴对称情形：P, (cos0)β(R,0)=+a.Rn14Pn+1P,(cosの）为Legendre函数。P(cos) = 1P(cos O)= cos0P2(cos0) ==(3cos? 0 -1)2(5cos20-3cos0)P,(cos )-22-12

2-12 轴对称情形： ( )   ( )      = + + n n n n n n P R b  R, a R cos 1 (cos ) Pn 为Legendre函数。             = − = − = = . (5cos 3cos ) 2 1 (cos ) (3cos 1) 2 1 (cos ) (cos ) cos (cos ) 1 2 3 2 2 1 0         P P P P

（2）在直角坐标系中d0福0?Qz?axO设p(x, y,z) = X(x)Y(y)Z(z)在数学物理方法中，该方程的通解的p(x, y,z) =(A cos k,x + A, sin k,x).(B, cosk,y+ B, sin k,y)(Ci cosk,z + C, sin k,z)（A、B、C为待定系数）2-13

2-13 （A、B、C为待定系数） 0 2 2 2 2 2 2 2 =   +   +    = x y z     设(x, y,z) = X(x)Y(y)Z(z) ( cos sin ) ( cos sin ) ( , , ) ( cos sin ) 1 2 1 2 1 2 C k z C k z B k y B k y x y z A k x A k x z z y y x x  +  +  = + 在数学物理方法中，该方程的通解的 （2）在直角坐标系中

或者写成土ik.土ik.21土ikxp(x, y,z) =e±(k? =kz +ks)ee（3）在柱坐标系中aaad110C01002Orr orOz设(r,0,z) = R(r)(0)Z(z)该方程的通解为0(r, 0,z) =[AjJ m(kr)+ A,Nm(kr)]·[B, cos(nO) + B2 sin(nO)]·[C, cosh(kz) + C2 sinh(kz)]2-14

2-14 设 ( , , ) ; ( ) 2 2 2 z x y i k x i k y i k z x y z e e e k k k x y z = = +     0 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 =   +   +      = r r z r r r      (r,,z) = R(r)( )Z(z)      cosh( ) sinh( ) cos( ) sin( ) ( , , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 C k z C k z B n B n r z A J m k r A Nm k r  +  + = +     或者写成 （3）在柱坐标系中 该方程的通解为

其中，Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数m+2n(-1J.(kr)=Z(T为伽马函数)n!I(m+n+ 1)n=0cos(m元)Jm(kr)- Jm(kr)Nm(kr) =sin(mπ)如果考虑与轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是故通解为0≤0≤2元Z(A,r" + B,r-")cos(n0)p(r,O)= A。+ B, ln r +n=1=Z(C,r" +D,r-")sin( n0)2-15

2-15 如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是 ， 故通解为 sin( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ) 2 ( 1) ( ( ) 0 2   m m J k r J k r N k r n m n k r J k r m m m n n m n m −  = + − =   + + − =  为伽马函数 0   2   = − = + + + 1 0 ( , ) ln ( ) cos( ) n n n n  r  Ao B r An r B r n 其中，Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类 贝塞尔函数。   = − = + 1 ( )sin( ) n n n r Cn r D r n