利用边界条件定解第一，如果考虑问题中有i个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplace'sequation第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：(在S,面上)ao88anan边界条件：addo或及导体的总电荷7-8Onon(2-16
2-16 利用边界条件定解: 及导体的总电荷 (在 面上) i j j j i i i j S n n = = S S n 或 第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分 布），必须有i个相应的Laplace's equation . 第二，在每个区域的交界面上，应该满足边 值关系： 边界条件： ds Q n S = −
补充证明在球坐标系中拉普拉斯方程为a11duau1dCsinar? ara0r? sin? pOrsin0a0设试探解为u(r,0,β)= R(r)Y(O,P),代入上式a1 1aydR1１αdsin02R drY sin? Qp00drYsinooeddR-2R=0drdr1aa?yay1+aY=0(sin 0000agsinoaosin?2-17
2-17 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) 0 sin sin ( , , ) ( ) ( , ) 1 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin 1 (sin ) 0 sin u u u r r r r r r u r R r Y d dR Y Y r R dr dr Y Y d dR dr dr Y Y Y + + = = = − − = + + = 2 在球坐标系中拉普拉斯方程为 设试探解为 ，代入上式 （r ）- R=0 1 sin 补充证明
进一步分离，令=①(O)Φ(β)1 dΦddosina+sin?θ=-sinmSΦ dp?de0ded@+ m'ΦECdp?ddo+[sin?-m?j@=0sin 6sindode令2=[(1+1) ， 1 = 0,1,2,3.. 2-18
2-18 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) sin 1 (sin ) sin 0 sin (sin ) [ sin ] 0 1 0 1 2 3 Y d d d m d d d d m d d d m d d l l l = + = − = + = + − = = + = 进一步分离，令 令 （ ），
考虑径向方程d'RdR(1+D R=0+2rdr2dr令R=r，代入上式2 =l, =-(1+1)径向方程的通解为BR(r)= Arl +r./+1d@考虑方程+m@=0dp通解为@ (p) = A, cos mp+ B, sinmpm = 0,1,2,3...2-19
2-19 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 0 1 0 cos sin 0 1 2 3 l l d R dR r r l l R dr dr R r l l B R r Ar r d m d A m B m m + + − + = = = = − + = + + = = + = 考虑径向方程 （ ） 令 ，代入上式 ， （ ） 径向方程的通解为 （ ） 考虑方程 通解为 （ ）
考虑①（の）满足的方程dym-(1-)1dr?dx当m=0时dy1l(l +1)y = 0dr?dx8设方程有幂级数解y(x)=ckxkk=0I(1 + 1)C + 2c2 = 0I(1 +1)c; - 2c; +6c3 = 0(k -l)(k +1 +1)Ck+2K(k +2)(k +1)2-20
2-20 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 1 1 3 2 (1 ) 2 ( 1) 0 1 0 (1 ) 2 ( 1) 0 ( ) ( 1) 2 0 ( 1) 2 6 0 ( )( 1) ( 2)( 1) k k k k k d y dy m x x l l y dx dx x m d y dy x x l l y dx dx y x c x l l c c l l c c c k l k l c c k k = + − − + + − = − = − − + + = = + + = + − + = − + + = + + 考虑 （ ）满足的方程 当 时 设方程有幂级数解