《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第一章 复数与复变函数

复数的概念（1）对任意两实数x、y,称z=x+iy为复数。其中 i=-1,或i=/-1,称为虚单位。复数z的实部（real part）Re(z)=x；虚部(imaginary part ) Im(z) = y .(2）当y=0时，z=x（实数）;当x=O 时，z=iy（纯虚数）;当x=O,=0时,z=0（实数）;

一、 复数的概念 （1）对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 = −1,或i = −1, i称为虚单位。 复数z 的实部（real part） Re(z) = x ; 虚部 （imaginary part ）Im(z) = y . （2）当 y = 0 时， z x = （实数）； 当 x = 0 时， z iy = （纯虚数）； 当 x y = = 0 0 , 时， z = 0 （实数）；

(3）设复数Zi =Xi +iyi, Z2 = X2 +iy2则 zi = Z2 Xi = X2,i= y2 :注意：任意两个虚数不能比较大小！！例如，设i>0 ,则i·i>0·i,即-1<0 ,矛盾。z = 0 ← Re(z) = Im(z) = 0z=x+称 =x-讷的共轭复数(4) 设

, . 1 2 1 2 1 2 则 z = z  x = x y = y （3）设复数 , 1 1 1 z = x +iy . 2 2 2 z = x +iy (4) 设 , 称 为 z 的共轭复数. z = x + iy z = x − iy 注意：任意两个虚数不能比较大小！！ 例如，设 i  0 ,则 ii  0i ,即−1 0 ,矛盾。 z = 0  Re(z) = Im(z) = 0

二、 复数的四则运算设 zi=x,+iyi与z2=x,+iy2,则(1) z±z2=(xi±x2)+i(yi±y2)(2) Z132=(x1+iy1)(x2+iy2)=(xjx2-yiy2)+i(x2y1+xiy2)Zi22 =XX2 + yiy2 + iX2J1-Xiy2(3)z = 31 (z2 ± 0)1 z2 P21 z2 P2Z2Z2 72

设 z1 =x1+iy1与z2 =x2+iy2，则 （1）z1±z2=(x1±x2 )+i(y1±y2 ) （2）z1 z2=(x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 -y1y2 )+i(x2y1+x1y2 ) 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 3 0 | | | | z z z x x y y x y x y z i z z z z z z + − = = = +  二、复数的四则运算

例1 设z, =2+5i,z2 =3+2i,求乡的实部，虚部.2216112 + 5i16 +1li1.解X1313133+2iZ21611VZ1所以ReIm1313Z2Z2

, . 1 2 5 , 3 2 , 2 1 1 2 求 的实部 虚部 例 设 z z z = + i z = + i , 13 11 13 16 13 16 11 3 2 2 5 2 1 i i i i z z = + + = + + 解 = . 13 11 , Im 13 16 Re 2 1 2 1 = = z z z z 所 以

例2将下列复数表示为x+iy的形式1-i11-9(1)21+ii(1-i)(1-i)21-i解-i.(1)2+i(1+i)(1-i)(1-i)=(-i) = i.（1+i）1-i_i+(1-i)2-1-2ii2(1-i)i11+i31(-1-2i)(1-i)222

20 例 2 将下列复数表示为 x +iy的形式. 1 1 ; (2) 11 (1) 7 i i i i ii − + −   +− 解 ii +− 11 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 2 i i i + − − = 2 ( 1 ) 2 − i = = − i , 7 7 ( ) 11 i ii = −   +− = i . i i i i − + − 1 1 ( 2 ) i i i i ( 1 ) ( 1 ) 2 2 − + − = i i + − − = 11 2 2 ( − 1 − 2 i)( 1 − i ) = . 21 23 = − − i