第二章数列极限 5)原式=1+1+…+1=10 1-()x (6)原式=m 2.设lman=a, lim b=b且a<b证明 存在正数N,使得当n>N时有an<bn 证明取c0=l(b-a)>0,根据两个已知条件分别存在 N,N2,当n>N1时,an-a|<0,从而an<a+=2(a+b) 当n>N2时,bn-b|<E0,从而bn>b-e0=2(a+b) 取N=maxN1,N2},当n>N时,必有an<)(a+b)<b 因此,当n>N时有an<bn 3.设{an}为无穷小数列,{bn}为有界数列证明:{anbn}为无穷小 数列 证明:由{bn}有界知,必存在M>0,使|bn≤Mn=1,2, 由{an}为无穷小数列知,对e>0,必彐N,当n>N时 an1<M,因此当n>N时,ahn-0=anln1sM·M=g, 所以 lima, b=0,即{anbn}为无穷小数列 4.求下列极限 (1)lm/1 m(1·22·3 n(n+1) )m(+2 1, (5)imn(2+ (n+1)2
§2收敛数列的性质 (6)lim 解(1)原式=im[(1-4)+ 1 nn+1 (2)2.2…=2=2= 而1<2<2=2→1(n→∞)∴原式=im3=2 ()令=+是+…+21 则an=(3-2)+( )+…+( 2n十 原式=lin(3 (4)当n>2时,}<1-1<1,im lim√1=1 由迫敛性定理知,lm、1-1=1 (5)由于0<1+ 2+(an+1)2+…*1n<+n十“ =n+1=1+12→0(n→∞)由迫敛性定理知,原式=0 (6)由于,< mm+n=m√m2+1=1由追敛性定理知,原式=1 5.设{an}与{bn}中一个是收敛数列,另一个是发散数列 证明{an±bn}是发散数列又问{ahn}和1(n≠0)是否必为发散数
第二章数列极限 证明不妨设man=a,{bn}发散假设{an+bn}收敛于b则由极限 性质知bn={an+bn}-an收敛于b-a,即 limb=b-a这与{bn}发散 相矛盾,故{an+bn发散同理可得{an-bn}发散{a1)与(红(bn≠0) 不一定发散 例如若取{an}={1},bn}={n,则{a}收敛,{bn}发散, 但{anbn},{}都收敛 6.证明以下数列发散 (1)(-1)n+1(2)n(D(3)os241 证(1)令an=(-1)n+1则ima2n=1,ima2n-1=-1 由定理28知,{(-1)”-n;}发散 (2)因为{n(-1)}为无界数列,由定理23知,{n(-1)}发散 (3)令 gu lim agk= limcos2kr 1, limas+4= limos(2k +1)T=-1 由定理2.8知s}发散 7.判断下列结论是否成立.(若成立,说明理由;若不成立,举出反 例) (1)若{ak1}和{a2k都收敛,则{an}收敛 (2)若{a3k-2},{a3-1},{a3k}都收敛,且有相同极限,则{an}收 敛 解(1)不成立.例如:(-1)n (2)由于{a3k收敛,设lma3k=a,而{a3k}中含有{a3k-1}的子 列所以{a3k-1中有一个子列收敛于a而{a3k-1}收敛,由定理28知 a3k-1}收敛于a.同理由于{a3k中含有{a3k-2的子列,{a3xk-2}也收