8thZ若幂级数定理1（Abel定理）an=0在 x= xo点收敛,则对满足不等式|x|<|xo#国年的一切x幂级数都绝对收敛反之,若当x=xo时该幂级数发散，则对满足不等式[x|>|xo|的一切x，该幂级数也发散证：设anx 收敛,则必有 lim anx =0,于是存在n80n=0n常数 M>0,使≤M(n=1,2,...)anxo收敛发散发散x发散收0敛HIGH EDUCATION PRESS
发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 定理 1 ( Abel定理 ) 若幂级数 n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使
1n+夕xV≤ManrnMnxoXo8ZantnM二收敛，>也收敛当x<|xo时.XOn=0n=0故原幂级数绝对收敛反之,若当 x=xo时该幂级数发散，下面用反证法证之假设有一点 x,满足|xi|>|xo「且使级数收敛，则由前级数在点 x。也应收敛面的证明可知与所设矛盾故假设不真所以若当 x= xo时幂级数发散，则对一切满足不等式|x>xo|的x，原幂级数也发散证毕HIGH EDUCATION PRESS
当 x x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x x 0 x 满足不等式 0 x x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = 证毕
8Zanx"的收敛域是以原点为由Abel定理可以看出n=0中心的区间则用土R表示幂级数收敛与发散的分界点R=0时,幕级数仅在x=0收敛：R= 80 时,幂级数在（-00,+o0)收敛O<R<0，幂级数在（-R,R）收敛;在［-R,R]外发散；在x=土R可能收敛也可能发散R称为收敛半径，（-R，R）称为收敛区间（-R，R）加上收敛的端点称为收敛域HIGH EDUCATION PRESS
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, n=0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x = R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间