注:(1)x(σ)往往不满足约束条件κ(σ)都是 从可行域外部趋向于x的因此叫外罚函数法 (2)通过求解一系列无约束最优化问题来求 解约束最优化问题的方法又称为序列无约束 极小化技术SUM外罚函数法又称SUMT外点 法
注：(1) x( ) 往往不满足约束条件， x( ) 都是 从可行域外部趋向于 * x 的．因此叫外罚函数法． (2) 通过求解一系列无约束最优化问题来求 解约束最优化问题的方法，又称为序列无约束 极小化技术SUMT.外罚函数法,又称SUMT外点 法．
外罚函数法算法 Step1:给出x∈R"(可是不可行点)F>0=104) 罚因子G1(a1=1),放大系数C(C=10),k Step2:以x1为初始点求无约束问题 min P(x,Ok=f()+o P(axx=x(ok) step3:若σp(xk)<E,则x=x,停否则转step4 Step4:令k+=Ck,k=k+1转step2
外罚函数法算法 Step1: 给出 n x0 R (可是不可行点)， ( ) 4 0 10− = 罚因子 ( 1), 1 1 = 放大系数 C(C =10), k =1. Step2: 以 k−1 x 为初始点求无约束问题： P(x ) f (x) P(x) k k ~ min , = + 得 ( ). k k x = x Step3: 若 ( ) , ~ k k P x 则 , * k x = x 停；否则转step4 Step4: 令 , k+1 = C k k = k +1, 转step2
例2:用SUMT外点法求解 f(x)=(x1-2)+(x2-2x1)2 x-x=0 取x。=(2,1),a1=0.1,C=10,E=0.05 求解mn(x1-2)+(x2-2x1)+a(x2-x2) 迭代过程见下表
例2：用SUMT外点法求解： ( ) ( ) ( ) . 0 min 2 2 2 2 1 2 2 1 4 1 − = = − + − st x x f x x x x 取 x0 = (2,1) ,1 = 0.1,C =10, = 0.05 T 求解 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 4 min x1 2 x 2x x x − + − + k − 迭代过程见下表：
k k k+1 k+1 k+1 0.1(1.453907608)0.09350.1831 1_2_3_4 (11687,07407)0575303908 100.99060.8425)0.52030.1926 100(0.950708875)194050.0267
１ 0.1 (1.4539,0.7608) 0.0935 0.1831 ２ 1 (1.1687,0.7407) 0.5753 0.3908 ３ 10 (0.9906,0.8425) 0.5203 0.1926 ４ 100 (0.9507,0.8875) 1.9405 0.0267 k k T k x +1 k+1 f ( )1 ~ k k+ P x
收敛性分析 引理1对于由SUMT外点法产生的点xk21 总有列 P(x1)≥P(xo) P(x)≥P(x) f(x)≥f(x)
收敛性分析 引理1：对于由SUMT外点法产生的点 列 x , k 1, k 总有： ( ) ( ) k k k k P x +1 , +1 P x , ( ) ( )1 ~ ~ k k+ P x P x ( ) ( ) k k f x f x +1