收敛性分析 定理1设约束问题(3)和无约束问题(4)的整体 最优解为x和x(k2对正数序列o120 且a→+∞,则由SUMT外点法产生的点}的 任何聚点型是3的整体最优解 证不妨设x→X 因为x和x分别为(3)和(4)的整体最优解 且)=0所以有 X|+
收敛性分析 定理1：设约束问题(3)和无约束问题(4)的整体 最优解为 * x 和 x (k 1), k 对正数序列 , , k k+1 k 且 → +, k 则由SUMT外点法产生的点 列 xk 的 任何聚点 x ~ 必是(3)的整体最优解． 证：不妨设 . ~ x x k → 因为 * x 和 k x 分别为(3)和(4)的整体最优解， 且 ( ) 0, ~ * P x = 所以有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k f x f x P x f x P x P x , * * ~ * ~ = + + =
{P(x,o为单调有界序列,设其极限为p f(x)≤Pxa)≤1x) (x)亦为单调有界序列没其极限为 lm ok P(*)=lim[P(xg, 0k)-f(*k=po-f k→)+00 k→+0 O1→)+ m x4→且P()连续∷P()=0即为可行解 x为最优解;八x)≤f x4→3,八()连续;f()=lmf(x)≤1 /()=/(即x为(3)的整体最优解
P(xk , k ) 为单调有界序列，设其极限为 . 0 p ( ) ( ) ( ) * f x P x , f x k k k f (xk ) 亦为单调有界序列，设其极限为 . 0 f ( ) ( ) ( ) 0 0 lim , ~ lim P x P x f x p f k k k k k k k = − = − →+ →+ k → + ( ) 0 ~ lim = →+ k k P x x x k → ~ 且 P(x) ~ 连续； ( ) 0 ~ ~ P x = 即 x ~ 为可行解 * x 为最优解； f (x ) f (x ) * ~ x x f (x) k , → ~ 连续； ( ) ( ) ( ) * lim ~ f x f x f x k k = →+ f (x ) f (x ) * ~ = 即x ~ 为(3)的整体最优解．
外罚函数法评价 (1)如果有了求解无约束问题的好算法,利用 外罚函数法求解约束问题很方便 2)每个近似解x(σk)往往不是可行解,这是某 些实际问题所无法接受的内罚函数法可以解决 (3)由收鲛性定理a取越大越好而σ越大将 造成增广目标函数P(x,a)的Hese阵条件数越 大,趋于病态,给无约束问题求解增加很大困 难,甚至无法求解.乘子法可解决这个问题
外罚函数法评价 (1) 如果有了求解无约束问题的好算法，利用 外罚函数法求解约束问题很方便． (2) 每个近似解 ( ) k x 往往不是可行解，这是某 些实际问题所无法接受的．内罚函数法可以解决． (3) 由收敛性定理 k 取越大越好，而 k 越大将 造成增广目标函数 P(x, ) 的Hesse阵条件数越 大，趋于病态，给无约束问题求解增加很大困 难，甚至无法求解．乘子法可解决这个问题．
内罚函数法 惩罚策略∶在可行域的边界上筑起一道很高的 围墙”,当迭代点靠近边界时,目标函数 犍然增大,以示惩罚,阻止迭代点穿越边界 这样就可以把最优解“挡”在可行域內了 注憑罚策略只适合于不等式约束问题, 并且要求可行域的内点集非空
内罚函数法 惩罚策略：在可行域的边界上筑起一道很高的 “围墙”，当迭代点靠近边界时，目标函数 值陡然增大，以示惩罚，阻止迭代点穿越边界， 这样就可以把最优解“挡”在可行域内了． 注：惩罚策略只适合于不等式约束问题， 并且要求可行域的内点集非空．