行列式 第五节行列式的性质 >、行列式的性质 >、应用举例 三、小结思考题
庄一、行列式的性质 记 l12 In 21 nI 22 1, 12 2 n21 D n D= m2 In n 庄行列式D称为行列式D的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 上页
一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 n n a a a D = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a 22 11
王证明记D=de.转置行列式 2 n D 21 22 n b b nI n2 nn 庄即=G=12…按定义 王-(,A4-(yn c又因为行列式D可表示为 D=z(-1) n1n,‘a Pnh 上页
证明 记 D = det(aij)的转置行列式, 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D = b a (i, j 1,2, ,n), 即 ij = ij = 按定义 ( 1) ( 1) . = − 1 1 2 2 = − p11 p2 2 p n t p p np T t n n D b b b a a a 又因为行列式D可表示为 ( 1) . = − p11 p2 2 p n t n D a a a
故D=D7 证毕 说明行列式中行与列具有同等的地位因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号. 证明设行列式 b, b 11 12 1=/21 6 D 22 2n nI n2 nn 是由行列式D=detv)变换,两行得到的, 上页 圆
故 . T D = D 证毕 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 1 n n nn n n b b b b b b b b b D = 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 D = det(aij) 变换 两行得到的, i, j
士 即当k≠j时,b=4p当k=i,时, 于是D1=∑(-1)bn…bn…bm…b 中n =∑(-1)an…amn…am1…am =(-1yan…am…am…nm, 其中1……j…n为自然排列 为排列n…p…p…p的逆序数 设排列“DD的逆序数为,则有 上页 圆
于是 ( ) i j npn p ip jp t D b b b b 1 1 1 = − 1 ( ) i j npn p ip jp t a a a a 1 1 = − 1 ( 1) , 1 1 j i npn p ip jp t = − a a a a 其中1i jn为自然排列, . t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数 , 1 1 p p p p t 设排列 i j n 的逆序数为 则有 即当 时, k i, j ; bkp = akp 当 k i j 时, = , , , bip = ajp bjp = aip