等式约束问题 minf(x)x∈R() st x)=0i∈E 构 P(x, o)=f(x)+oP(x 其中σ>0为参数,称为罚因子 分析:P(x)=∑c:(x)B≥1 当x不是可行解时s1(x)≠0,P(x)>0,越大, 惩罚越重因此当。充分大时,P(x)应充分小 即P(x,a)的极小点应充分逼近可行域进而 逼近(1)的最优解
等式约束问题 min ( ) (1) n f x xR st. ci (x) = 0 iE = 1,2, l 构造： P(x ) f (x) P(x) ~ , = + 其中 0 为参数，称为罚因子． 分析： ( ) ( ) 1 ~ 1 = = l i i P x c x 当 x 不是可行解时， ( ) ( ) 0, ~ ci x 0,P x 越大， 惩罚越重．因此当 充分大时， P(x) ~ 应充分小． 即 P(x, ) 的极小点应充分逼近可行域，进而 逼近(1)的最优解．
不等式约束问题 mn f(x)x∈Rn(2) st (x)≥0i∈={1,2,…m} 构造:P(x,o)=f(x)+aP(x) 分析P(x)=∑mm(c(x)2a≥l 当x不是可行解时g(x)<0,P(x)>0,o越大, 惩罚越重因此当o充分大时P(x)应充分小 即P(x,a)的极小点应充分逼近可行域进而 逼近(2)的最优解
不等式约束问题 min ( ) (2) n f x xR st. ci (x) 0 iI = 1,2, m 构造： P(x ) f (x) P(x) ~ , = + 分析： ( ) min (0, ( )) 1 ~ 1 = = m i i P x c x 当 x 不是可行解时， ( ) ( ) 0, ~ ci x 0,P x 越大， 惩罚越重．因此当 充分大时， P(x) ~ 应充分小． 即 P(x, ) 的极小点应充分逼近可行域，进而 逼近(2)的最优解．
般约束问题 minf(x)x∈R(3) st x)=0i∈E c;(x)≥0i∈I={+1, 构造:P(x,o)=f(x)+o(x)(4)其中 P(x)=∑c(x)2+mim(0,c/(x)a≥1,B≥1 j=l+1 注:-般取a=B=2
一般约束问题 min ( ) (3) n f x xR st. ci (x) = 0 iE = 1,2, l ci (x) 0 iI = l +1, ,m 构造： ( ) ( ) ( ) (4) ~ P x, = f x +P x ( ) ( ) min (0, ( )) 1, 1 ~ 1 1 = + = = + m j l j l i i P x c x c x 其中： 注：一般取 = = 2
例1:用外罚函数法求解 min f(x)=x2+x2 st +1≤0 #4: P(,c)=x2+x2+omin(, -x-1)] 即(xa)-+ x1+1≤0 2+x2+a(x1+1)2x1+1>0 因此:aP「2x1 12x+2(x1+1) aP Ox
例1：用外罚函数法求解： ( ) . 1 0 min 1 2 2 2 1 + = + st x f x x x 解： ( ) ( ) 2 1 2 2 2 P x, = x1 + x + min 0,−x −1 即： ( ) ( ) + + + + + + = 1 1 0 1 0 , 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 x x x x x x x P x 因此： ( ) + + − − = 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x P 2 2 2x x P =
OPOP 0 Or ax 得:x1(o)= x(G)=0 o+1 最优值P(x,a)= o+1 +1 当σ→+∞时 x1()→>-1,x2(o)->0 x(a)→>x,P(x,o)→f(x)=1
令： 0 1 2 = = x P x P 得： ( ) ( ) 0 1 1 2 = + = − x x 最优值： ( ) 1 1 1 1 , 2 2 + = + + + = − P x 当 → + 时： x1 ( )→−1, x2 ( )→0 ( ) , ( , ) ( ) 1 * * x → x P x → f x =