行列式 第六节行列式按行(列)展开 、余子式与代数余子式 三、行列式按行(列)展开法则 三、小结思考题
生一、余子式与代数余子式 例如 1a12a13 =a1222+12221+ 53 342132 21 22 3 142332-124213-413f223 31 32 33 = 11(223~a 2332 )+a12(a2a31-a24a3) +a13(a21a2-a2a1) 22 23 21 23 21 23 12 a 13 32 33 31 33 31 33 王页下贡
1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1, 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 例如 ( ) = a11 a22a33 − a23a32 ( ) + a12 a23a31 − a21a33 ( ) + a13 a21a32 − a22a31 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 一、余子式与代数余子式
在n阶行列式中,把元素an所在的第i行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素n 的余子式,记作Mn 记4=(-1)+Mn,叫做元素an的代数余子式 例如a1a 12 13 14 1 11 12 14 D 21 M 23 31 32 34 31 32 34 42 44 43 42=(-1)2 2+3 M 23=-M 23° 上页
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 n aij i j n −1 aij M . ij 记 ( ) ij， i j Aij M + = − 1 叫做元素 aij 的代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23
f1…2…113…4 2122 2123 24 D= 23 24 33 345 31 ,Mn2=31a 32 33 34 41 41…2…143…4 44 A2=(n)2Mn=-M1 12 11 12 3 44 21 22235 A4=(-1)+M4=M4 144° 131 2 33 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和 个代数余子式 上页
, 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( 1) . 44 44 4 4 A44 = − M = M + 个代数余子式. 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
引理 个n阶行列式,如果其中第i行所有 元素除4外都为零,那末这行列式等于n与它的 代数余子式的乘积,即D=a4 11 12 u131 3 4 例如D=a212a23a24 00 33 0 41a42a43 44 12 14 3+3 3321a 22a 24 41 42 44 上页
引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 D = aijA．ij n i ij a ij a 41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = ( 1) . 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 a a a a a a a a a a + = − 例如