生84.2正定矩阵 定义2设A是实对称矩阵,如果二次型x7Ax是 正定二次型,则称A是正定矩阵 定理2实对称矩阵A正定的充要条件是A=E 证明:由推论2。 中定理3实对称矩阵A正定的充要条件是:存在可逆 矩阵C,使得A=CC 上页
8.4.2 正定矩阵 T 定义2 设A是实对称矩阵，如果二次型 x Ax 是 正定二次型，则称A是正定矩阵。 定理2 实对称矩阵A正定的充要条件是 A E T A C C = 定理3 实对称矩阵A正定的充要条件是：存在可逆 矩阵C，使得 证明：由推论2
定理4对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A 的特征值全为正 上证明:因为任何n元实二次型f=x4x都可经过 正交线性替换x=T化为标准形 2 Ay12+2y2+…+nyn 其中λ,2…,λ,是啪的全部特征值。 A正定分xAx是正定二次型 兮λ2…,,全大于0 上页
定理4 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A 证明：因为任何n元实二次型 都可经过 正交线性替换 化为标准形 T f x Ax = x Ty = 2 2 2 1 1 2 2 n n y y y + + + 其中 1 2 ， ， ， n 是A的全部特征值。 T A x Ax 正定 是正定二次型 1 2 ， ， ， n 全大于0
例1设A正定,则A可逆,且A-1也正定 证明:因为A是正定矩阵,所以存在可逆C,使得 A=CC =CC=C≠0 且A1=(CC)=C(C) =C-(C-)=DD (其中D=(C-)) 上页
例1 设A正定，则A可逆，且 A −1 也正定。 证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得 T A C C = 2 0 T = = A C C C 1 1 1 ( ) ( ) T T A C C C C − − − = = 且 - 1 1 1 ( )T T C C D D − − = = 1 ( )T D C （其中 ＝ − ）