定理(柯西收敛准则)级数∑收敛的充分必要条件 是vE>0,丑N,当m>N,及P∈N时,有 L+++ +1 <a 据柯西收敛准则级数∑4发散的充分必要条件 是,彐60>0,对VN∈N,3mn0(>N)和p∈N+,有 +.,+∴+ mo+ 0+p
定理（柯西收敛准则）级数 n u 收敛的充分必要条件 是0，N ，当 m N ，及 p N 时，有 1 2 . m m m p u u u + + + + + + 据柯西收敛准则级数 n u 发散的充分必要条件 是， 0 0 0 0, , ( ) , N N m N p N + + 对 和 有 0 0 0 1 2 0. m m m p u u u + + + + + +
即常数项级数收敛(发散)今lims存在(不存在) n→00 余项Tn=S-Sn=un+1+n+2+ ∑ n+l 即Sn≈S误差为rn(imrn=0) n→00 无穷级数收敛性举例:Koch雪花 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花
即 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 余项 n n r = s − s = un+1 + un+2 + = = + i 1 un i 即 s s n 误差为 n r (lim = 0) → n n r 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程 设三角形 周长为P=3, 面积为A√3 第一次分叉: 周长为P2=B1, 3 「播放 面积为A2=A4+30A4;依次类推
观察雪花分形过程 第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 2 1 1 2 1 A A A P P = + = 面积为 周长为 依次类推 ; 4 3 3, 1 1 = = A P 面积为 周长为 设三角形 播放
第n次分叉: 周长为Pn=()Pn =1,2,… 3 面积为 An=An1+3{4(0A1 9 A1+3.A1+3.4·()2A1+…+3.4“2·()”A1 9 =A1{1+[=+ 33939 39 n=2,3
) 1,2, 3 4 ( 1 1 = = − P P n n n ) ]} 9 1 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n − − = − + 1 2 1 1 2 1 1 ) 9 1 ) 3 4 ( 9 1 3 4 ( 9 1 A 3 A A A n− n− = + + ++ n = 2,3, 周长为 面积为 ) ]} 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 {1 [ 2 2 1 − = + + + + + n A 第 n 次分叉：
于是有 limP.=∞o n→0 3、2√3 imA=A1(1+→A)=A1(1+2) n1→0 5 5 9 雪花的面积存在极限(收敛) 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界
于是有 = → n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim 1 (1 − = + → An A n . 5 2 3 ) 5 3 = A1 (1+ = 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）．