3.复数模的三角不等式 l|≤x1±2lsk1|+z 等号成立的充要条件是x12位于同一直线上 1+2 几何意义如图:
1 z 2 z 1 2 z z + 1 2 z z − x y o 3. 复数模的三角不等式 1 2 1 2 − z z z + z 1 2 z z 等号成立的充要条件是z1 ,z2 位于同一直线上． 几何意义如图：
二、复数的三角形式和指数形式 x=rcos e 利用直角坐标与极坐标的关系 y=siNe, 复数可以表示成z=r(c06+isin6) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式e=c0s+iin,欧拉介绍 复数可以表示成z=rel 复数的指数表示式
利用直角坐标与极坐标的关系 = = sin , cos , y r x r 复数可以表示成 z = r(cos + isin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 cos sin , e i i = + 复数可以表示成 i z = re 复数的指数表示式 欧拉介绍 二、复数的三角形式和指数形式
例1将复数z=-12-2i化为三角表示式与指 数表示式 解r=z=√12+4=4,因为z在第三象限 2 所以6= arctan 3 5 丌= arctan T √12丿 3 5 5 故三角表示式为z=4c0s-+isin- 指数表示式为z=4c6
例1 将复数 化为三角表示式与指 数表示式． z = − 12 − 2i 解 r = z = 12 + 4 = 4, 因为z 在第三象限 , π 12 2 arctan − − − 所以 = = − 3 3 arctan , 6 5 = − 故三角表示式为 , 6 5 sin 6 5 4 cos + − z = − i 指数表示式为 4 . 6 5 i z e − =
三、复数三角形式的乘除法 1.乘法 设乙1=r(cos日+isin1),2=h2c0s2+isin02) 则z1z2=r1· rIcos(1+62)+isin(G1+2) 从而 152=1 142 Arg(z,2)=Argz,+ Argz2
三、复数三角形式的乘除法 [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1 +2 + 1 +2 则 z z = r r i = + = = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Arg( ) Arg Arg z z z z z z rr z z (cos sin ), 1 1 1 1 设z = r + i (cos sin ), 2 2 2 2 z = r + i 从而 1．乘法
说明由于辐角的多值性,Arg(x12)=Arg1+Argz2 两端都是无穷多个数构成的两个数集 对于左端的任一值,右端必有值与它相对应 从几何上看,两复数对应的向量分别为1,2, 先把按逆时针方向旋转一个角a, 再把它的模扩大到z倍, 所得向量z就表示积x1z2 两复数相乘就是把模相乘,辐角相加
两复数相乘就是把模相乘, 辐角相加. , 再把它的模扩大到r2 倍 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 , , 1 2 z z , 先把 1 按逆时针方向旋转一个角 2 z . 1 2 所得向量 z 就表示积 z z 2 o x y r 2r 1r • 2 z 1 • 1z • z 说明 由于辐角的多值性, 1 2 Arg 1 Arg 2 Arg(z z ) = z + z 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应