第1章行列式 ·13· 为c,直接找递推公式有很大的难度，利用行列式的性质1.5化简也很难达到解决 问题的目的：可以考虑把行列式的某一行或列看成是两个元素的和，利用性质 1.4,分成两个行列式的和，得到递推公式. 解把行列式中第1列元素写成两项的和，其中a=(a一c)十c,c=0十c,即 a-c+cbb.bb 0+cab.bb D.= 0+cca.bb 0+c cc.ab 0+c a-cbb.b bc bb.b b 0ab.bb a b 6 b 0 ca.bb c b 0 cc.ab 0 cc.c a ccc c b . b b 0 a-b 0 . 0 0 0 =(a-c)D,1+ 0c-ba-b. 0c-bc-b.a-b0 0c-bc-b.c-ba-b =(a-c)D1+c(a-b)-l, D.=(a-c)D.-1+c(a-b)-1. (1.4) 同理，把行列式中第一行元素看成两项之和，其中a=a一b十b,b=0十b,得 D.=(a-b)D+b(a-c)"1, (1.5) 由(1.4).(1.5)解得 D.=a-c”二ca=b》(b-c≠0. b-c 当b=c时， D.=[a+(n-1)b](a-b)-'. 例9证明n阶行列式
·14 线性代数学习指导 a+BaB0.0 0 1a+BaB.0 0 D.= 01 a+B.0 0 000.1a+l =aI-B (a≠3). a-B 分析对于含n阶行列式的等式证明，可采用数学归纳法证，也可用递推公式 推导出所要证明的等式. 证证法一用数学归纳法， 当n=1时，显然结论成立. 假设对于阶数小于n的行列式结论成立. 对于n阶行列式，把D.按第1行展开，得 |10.0 0 0a+Ba3.0 0 D,=(a+D-1-ag::: 000.1a+B =(a十3)D-1-a3Dm-2 由归纳假设知 D1=a二g，D4=-g a月 故 D=a+。二g-a9.g a-B a-B 。-月a1-9+a-gp+g = 1 =Q1-g1 a-B 证法二行列式按第1行展开，得 D.=(a+B)D.-aBD 变形，并且递推，得 D。-aD1=g(D-1-aD.2)=B(D,2-aD.-3)=. =B2(D2-aD)=B-2[(a+B)2-aB-a(a+)]=B
第1章行列式 ·15· 即 D.-aD=8". (1.6) 由于行列式D,中，a和3的地位是一样的，故 D.-D.1=a (1.7) (1.7)×a-(1.6)×3,得 (a-)D.=a+1-B, 所以 D.=91-g a-B 例10讨论入为何值时，下面的方程组有唯一解，并求出唯一解： λx1十x1十x=1, x1+x1+x=λ， x1十x2十x3=A2. 解方程组的系数行列式 入11 A1-λ1-a D=1x19-。1A-10 -i0 -1 11A -1-1 =(a-1)2110 101 +1-10 +na-1)110 101 =G-1Da+1-1 1 1=a-10a+2. 由克拉默法则，当D≠0，即≠1且入≠一2时，方程组有唯一解. 111 110 0 D=1 -4x01-入 21 a-a是1-是1-0 01- =1-0x0-0 =-(0+1)(-1)2. λ11 D2=1λ1=(a-1)2, 12a
·16。 线性代数学习指导 11 D=11=(+1)2(-1)2 12 方程组的解为 == n-号=十2 =号=+罗 λ+2 例11讨论当入4取何值时，齐次线性方程组 x1+x2+x3=0, x1+2+x=0, x1+2r2+x3=0 有非零解， 解齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式等于零，即 x11 D=1r1=-a-1)=0. 112μ1 故当以=0或入=1时，方程组有非零解. 例12设a1,a2,.,a.是互不相同的数，b,b2,.,b.是任一组给定的数，证 明存在唯一的次数小于n的多项式f(x),使f(a)=b,(i=1,2,.,n. 证设f(.x)=co十c1x十cx2+.十c-x”-1.由fa,)=b,得 (co+cia+caai++ca=b co十a2十ca+.十ca=b 04e co+c1am十c2a+.+cag3=b 把它看成关于c0,C,.,Cm-1的线性方程组，其系数行列式为 1a4ai.ai D= 1aga.a 1ana2.a 显然行列式D是n阶范德蒙德行列式的转置，故
第1章行列式 ·17· D=I(a,-a,. 由已知条件，a1,a2,.,an互不相等，因此 D≠0. 由克拉默法则知，以，C2,.,c。为变量的线性方程组有唯一解，即所求多项式 f（a,)=b,(i=1,2,.,n)是唯一的. 四、习题选解 1.利用对角线法则计算三阶行列式： 201 x y x+y 111 1) 1 -4-1(2)yx+yx; (3)a b c -183 Ix+y x y 12011 解(1)1-4-1=2×(-4)×3+0×(-1)×(-1)+1×1×8 -183 -0×1×3-2×(-1)×8-1×(-4)×(-1) =-24+8+16-4 =一4. r y r+y (2)y z+y x x+y x y =x(x+y)y+yx(x+y)+(r+y)yx-y-(x+y)3-x =3ry(r+y)-y-3r'y-3y'r-x-y-x' =-2(x2+y2). 111 (3)a b c=be2+ca+ab-uc-bai-cb a22 =(a-b)(b-c)(c-a). 4.证明 ax+by ay+bz az+br x y z (1)ay+b:ax+bzar+by=(a+6)y之x； az+br ax+by ay+bz z x y 1111 (2)abc=(a+b+c)(a-b)(a-c)(c-b) ab