第七节 第十二章 停里叶级怒 一、 三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数
三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅。o为角频率，o为初相) 复杂的周期运动：y=40+∑4nsin(ot+9n) n=1 (谐波迭加) An sin pn cosnot+An cos on sinnot o.aningn b c 00 得函数项级数 +∑a,cosx+b,sinm) 2 称上述形式的级数为三角级数 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos + n cosn sin 令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k + + = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
引理：组成三角级数的函数系 1,cosx,inx,c0s2x,sin2x,.,cos7x,sinnx,. 在[-π，]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，π]上的积分等于0 证：∫1 cosnxdx=∫1 sindx=0(n=1,2,） π cos kx cosnxdx coskxcosnx=[cos(k+n)x+cos(k-n)x] =J[cos(k+n)x+cos(k-n)x]dx=0(k≠n） 同理可证：sin kxsinnxdx=0(k≠n) cos kx sin nx dx =0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − − 引理: 组成三角级数的函数系 证: − 1 cos nxd x = − 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx − = 0 sin sin d = 0 − kx nx x 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x (k n ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一π，π] 上的积分不等于0.且有 11d=2a cos'nxdx (n=1,2,.） sin2xdk=元 cos2 nx= 1+cos 2nx 1-cos2nx 2 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
上的积分不等于 0 . 11d = 2 − x sin nxdx 2 − cos n xdx 2 − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = = 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成傅里叶级数 引理：设f(x)是周期为2π的周期函数，且 fx)=+Σ+b,sin 00 2 n=1 右端级数可逐项积分，则有 〔a=nfw)os=0,1 f()sinndx (n=1,2,.) 证： 对@在[-π，]逐项积分，得 omdh -元 =a0元 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、函数展开成傅里叶级数 引理: 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: + = + − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束