·8 线性代数学习指导 1 12x3x2 0 例4设函数F(x)= ,当x取什么值时，F(x)有最大值？ 013x 100 1 4x 分析当函数用行列式表示时，求函数F(x)=0的根，函数的最值以及解有 关的不等式问题，一般都归结为行列式的计算问题. x x2 z3 1 x00 1 12x3.x20 1x2x20 解F(x)= 013x6x2a-c1013x6.x 0014x 0014.x x001 x001 -2e1x00c-61x00 01x6 01x 0 0014x 001 -2 =-1-2x, 所以，当x=0时，F(x)取得最大值一1. 例5证明 1111 D= a bcd a'bcd =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). 分析该证明题归结为4阶行列式的计算，这种低阶行列式常常利用性质化 简来求解：另外也可以根据行列式的特点，构造范德蒙德行列式求解. 证证法一直接利用行列式的性质 可以利用第1列乘以一1，分别加到第2,3,4列上，降为三阶行列式，但很难得 到等式的右端.因此可采用如下方法化简： 1111 /1 1 1 a b c d n-ain 0 b-a c一a d-a D= a b c o b(b-a)c(e-a)did-a) 0b(b2-a2)c2(c2-a2)d(d-a2) b-a c-a d-a b(b-a) c(c-a)d(d-a) b2(62-a2)c2(c2-a2)d(d-a2)
第1章行列式 ·9· 1 =(b-a)(c-a)(d-a) b C d (b+a)e(c+a)d(d+a) s-(b-a)(c-a)(d-a) G-0 1 0 0 b c-b d-b (b+a)2(c+a)-(b+a)d(d+a)-(b+a) =(b-a)(e-a)(d-a)(c-b)(d-b) 1 ·2+F+市+m+bd+的+b+d血+加 =(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(dr-2)+b(d-c)+a(d-c)] =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). 证法二采用加边法，变成5阶范德蒙德行列式，记为D, |11111 a'bcdx 若D按第5列展开得x的4次多项式，其中x的系数为行列式中x对应的代数 余子式，即 (-1)5D=-D. (1.1) 另外，由范德蒙德行列式的结果，得 D=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a), (1.2) 易知，(1.2)中2的系数应为 -a(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) -b(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) -c(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) -d(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) =-(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d(a+b+c+d),(1.3) 由(1.1)，(1.3)得 D=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
·10· 线性代数学习指导 例6求n阶行列式D.=det(a)的值，其中a=|i-j(i,j=1,2,.,n). 分析本题注意n阶行列式的简化符号表示.对于较简单的n阶行列式可通 过化简，直接利用行列式的性质，求出行列式的值. 解 a12 az an a2 . D.=det(ai;)= a-ita-2a-13.ann aead.a 0 2 .n-2n-1 1 0 1 .n-3n-2 2 1 0 .n-4n-3 n-2n-3n-4 0 1 n-1n-2n-3. 1 0 0 1 2 n-2 n-1 一1 . -1 -1 r一r1 1 -1 1 -1 (行=n,-1,.,1) 1 1 -1 -1 1 1 1 . 1 -1 n-11+(n-1)2+(m-1. n-2+(n-1)n-1 0 -2 2 -2 1 0 0 -2 -2 -1 =1,2,.,n-D 0 0 0 -2 一1 0 0 0 -1 =(m-1),(-2)-2.(-1)=(-1)(m-1)2-2. 例7计算n阶行列式 1+a1 02 D 1十a2. .1+an
第1章行列式 .11· 分析将行列式各行（列）都加到第1行（列）的方法是行列式化简中常用的方 法：亦可以拆成两个行列式之和，找递推公式求出结果：还可以采用升阶法求行列 式的值. 解解法一行列式中各列加到第1列，得 n-1+1+a 1+2a .1十aw 1 .a =0+2a) 1+a: . 1 .1+an 1 az ri-n -(+ 01 0 0=2. 00.1 =1+2a 解法二 1 . D= 0 1+a2 1+a 0 .1十a 1+a .an 0 0 =D.-1十 D.-1+a. 0 01 递推公式 Dn=Dn1十a1=D.2+a2+a1=. =D2十am2十aw1十.+a2+a1
·12· 线性代数学习指导 =1+aa +a-2+.+a2+a a1 1+a -1++a+a++a+a=1+2a 解法三构造n十1阶行列式 11 an-1 01十a1. an-1 a Hd= 0 a .1+a-la 0 . da-1 显然 1a1.a- -11 . 0 0 r-n D,=H=2,3n+D .! -10 . 1 0 -10 0 1+ . an-1 0 1 0 0 0 0 . 0 0 0 0 1 0 0 0. 0 1 -1+2 例8计算n阶行列式 1abb.bb cab.b b D,= cca. b b c a ccc .e a 分析根据行列式的特点，主对角线上方的元素都为b,主对角下方的元素都