《线性代数》课程作业解答（C）第三章 矩阵的运算

第三章矩阵的运算作业题 一、判断题 1.(A+B)2=A2+2AB+B2 r ) 2.(4+BXA-B)=42-B2 ( ) 3.若A2=A,则A=E或A=0 ( 4.若AX=AY,且A可逆，则X=y ( ) 二、填空题 1.n阶方阵A可逆的充要条件是 「3400] 2.A= 4-300 ,则4= 0020 0022 3.设4阶方阵A的秩为2，则伴随矩阵厂的秩为_ [1017 4.设矩阵A=020 ,矩阵X满足AX+E=+X,其中E为3阶单位矩 101 阵，求X= 5.设4阶方阵A=[a乃2]，B=[a+1六2]，且已知 4=4,则6= 三、远择题 1.设n阶方阵A,B,C满足ABC=E,其中E是n阶单位矩阵，则必有(） A.ACB=E B.CBA=E C.BAC=E D.BCA=E 2.设矩阵A的秩R()=m<n,In为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是 () A.A的任意m个列向量必线性无关. B.A的任意一个m阶子式不等于零。 C.若矩阵B满足B4=O,则B=O

第三章 矩阵的运算 作业题 一、判断题 1． 2 2 2 (A+ B) = A + 2AB + B （ ） 2． 2 2 (A+ B)(A− B) = A − B （ ） 3．若 A = A 2 ，则 A = E 或 A = O （ ） 4．若 AX = AY ，且 A 可逆，则 X = Y （ ） 二、填空题 1．n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 。 2．             − = 0 0 2 2 0 0 2 0 4 3 0 0 3 4 0 0 A ，则 8 A = 。 3．设 4 阶方阵 A 的秩为 2 ，则伴随矩阵 * A 的秩为 。 4．设矩阵           = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，矩阵 X 满足 AX + E = A + X 2 ，其中 E 为 3 阶单位矩 阵，求 X = 。 5．设 4 阶方阵   1 2 3 A =     ，   1 1 2 3 B =  +     ,且已知 A = 4，则 B = 。 三、选择题 1．设 n 阶方阵 A, B,C 满足 ABC = E ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有( ) A． ACB = E B. CBA = E C. BAC = E D. BCA = E 2.设矩阵 Amn 的秩 m R(A) = m  n,I 为 m 阶单位矩阵,下列结论中正确的是 ( ) A． A 的任意 m 个列向量必线性无关. B. A 的任意一个 m 阶子式不等于零. C. 若矩阵 B 满足 BA = O,则 B = O

D.通过初等行变换，A必可化为(10)的形式 3.设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩 为，则(） A.r>5B.r<片C.P=5D.r与r的关系依C而定 4.设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=O,则A和B的秩() A.必有一个等于零 B.都小于n C.一个小于n,一个等于nD.都等于n 5.设A是4阶方阵，且A的行列式4=0，则A中() A.必有一列元素全为零 B.必有两列元素对应成比例 C.必有一列向量是其余列向量的线性组合 D.任一列向量是其余列向量的线性组合 四、计算题 [1111「123] 1.设A=11-1,B=-1-24,求AB-2A。 1-11051 「12-11 2.求A=34-2的逆矩阵。 5-41 「21-1] 「1-13] 3.已知x210 1-11」 43求x 「423] 4.设A=110,AB=A+2B,求B。 [-123 点设做裤4质价库8布可地、串及可 五、证明题 1.设n阶方阵A的伴随矩阵为A,证明： (1)若4=0，则4=0

D. 通过初等行变换, A 必可化为( m I 0)的形式 3.设 A 是 mn 矩阵, C 是 n 阶可逆矩阵, 矩阵 A 的秩为 r , 矩阵 B = AC 的秩 为 1 r ,则( ) A. 1 r  r B. 1 r  r C. 1 r = r D. r 与 1 r 的关系依 C 而定 4. 设 A, B 都是 n 阶非零矩阵,且 AB = O,则 A 和 B 的秩( ) A. 必有一个等于零 B. 都小于 n C. 一个小于 n ,一个等于 n D. 都等于 n 5. 设 A 是 4 阶方阵,且 A 的行列式 A =0,则 A 中( ) A.必有一列元素全为零 B. 必有两列元素对应成比例 C. 必有一列向量是其余列向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合 四、计算题 1. 设           − = − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ,           = − − 0 5 1 1 2 4 1 2 3 B , 求 AB − 2A。 2. 求           − − − = 5 4 1 3 4 2 1 2 1 A 的逆矩阵。 3. 已知           − − 1 1 1 2 1 0 2 1 1 X       − = 4 3 2 1 1 3 ，求 X 。 4.设           − = 1 2 3 1 1 0 4 2 3 A , AB = A + 2B， 求 B 。 5. 设 n 阶方阵 A 及 m 阶方阵 B 都可逆, 求 1 0 0 −       B A 。 五、证明题 1. 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 * A ,证明： (1) 若 A = 0,则 * A = 0

(2)4=4 2.设方阵A满足A-A-2E=0，证明A及A+2E都可逆，并求A及 (A+2E)

(2) * A = n−1 A 2. 设方阵 A 满足 2 0 2 A − A − E = , 证明 A 及 A + 2E 都可逆,并求 −1 A 及 1 ( 2 ) − A+ E

第三章答案 一、判断题 1.×:2.×3.×4.。 二、填空题 [2011 1.4≠0：2.100：3.0：4.0305.4。 102 三、选择题 1.D:2.D:3.C:4.B:5.C。 四、计算题 「-212 1.AB-2A=2-1-2 2-1-2 「-4207 2= 2 -136-1 -3214-2 ax8?2 5到 「3-8-6 4. 2-9-6 -2129 5. 「0B-7 五、证明题 1.证明：()假设4≠0，则A可逆，由AA=4E,得A=O,A必为0 与假设矛盾，从而4=0。 (②)由A4'=AE,两边取行列式即得. 2.由4-A-2E=0,A(A-E)=2E,从而A可逆，且A=4:E 2 A+2E=A2,则(A+2E)=(A)2

第三章 答案 一、判断题 1．×； 2. ×； 3. ×； 4. √。 二、填空题 1. A ≠0； 2. 100 8 ； 3. 0； 4.           1 0 2 0 3 0 2 0 1 ； 5. 4 。 三、选择题 1.D ； 2.D； 3.C； 4.B； 5.C。 四、计算题 1．           − − − − − − = 2 1 2 2 1 2 2 1 2 AB 2A 2. = −1 A 2 1           − − − − − 32 14 2 13 6 1 4 2 0 3.         − − − = 3 2 5 3 8 2 2 1 X 4.           − − − − − 2 12 9 2 9 6 3 8 6 5.       − − 0 0 1 1 A B 五、证明题 1.证明:(1) 假设 0 * A  ,则 * A 可逆,由 AA = AE * ，得 A = O, * A 必为 O， 与假设矛盾,从而 0 * A = 。 (2) 由 AA = AE * ,两边取行列式即得. 2. 由 2 0 2 A − A − E = , A (A− E) = 2E ,从而 A 可逆,且 A −1 = 2 A − E 2 A+ 2E = A ,则 1 1 2 ( 2 ) ( ) − − A+ E = A